Задача 6.21. Рассмотрим такой частный случай, когда возмущающий потенциал 𝑉 не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т.е. энергия 𝐸1=𝐸2. Пусть 𝑉12=𝑉21=𝑣, a 𝑉11, 𝑉22 и все другие матричные элементы 𝑉𝑚𝑛 равны нулю. Покажите, что
λ
11
=
1-
𝑣²𝑇²
2ℏ²
+
𝑣4𝑇4
24ℏ4
-…
=
cos
𝑣𝑇
ℏ
,
(6.81)
λ
12
=
-𝑖
𝑣𝑇
ℏ
+𝑖
𝑣3𝑇3
6ℏ3
-…
=
-𝑖 sin
𝑣𝑇
ℏ
.
(6.82)
Задача 6.22. В задаче 6.21 мы имели равенство 𝑉12=𝑉21, поэтому матричный элемент 𝑉12 является действительной величиной. Покажите, что и в том случае, когда 𝑉12 — комплексная величина, физические результаты остаются теми же самыми (при этом следует положить 𝑣=|𝑉12|).
Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно. Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайно длительное время, так что 𝑉𝑚𝑛𝑇/ℏ ≫ 1. Тогда, рассматривая систему в произвольный момент времени 𝑇 (который до некоторой степени является неопределённым), найдём, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу. Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полезен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики.
Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния 𝐸𝑚 не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу. Пусть ρ(𝐸)𝑑𝐸 — число уровней или состояний в интервале энергий от 𝐸 до 𝐸+𝑑𝐸. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий 𝐸𝑛-𝐸𝑚 велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблизи начальной энергии 𝐸𝑛 (в пределах ±𝑉𝑚𝑛). Полная вероятность перехода в некоторое состояние
∞
∑
𝑚=1
𝑃(𝑛→𝑚)
=
∑
𝑚=1
|𝑉
𝑚𝑛
|²
4 sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]
(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²
≈
≈
𝐸𝑚
∫
|𝑉
𝑚𝑛
|²
4 sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]
(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²
ρ(𝐸
𝑚
)
𝑑𝐸
𝑛
.
(6.83)
Величина {4 sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]/(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²} очень велика, если 𝐸𝑚≈𝐸𝑛 и имеет наибольшее значение, равное 𝑇²/ℏ². Эта величина значительно уменьшается, когда энергии 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 существенно различны (т.е. 𝐸𝑚-𝐸𝑛 ≥ ℏ/𝑇), как это показано на фиг. 6.13. Таким образом, интеграл по переменной 𝐸𝑚 почти целиком определяется значениями 𝐸𝑚, лежащими в окрестности точки 𝐸𝑛.
Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.
Разность энергий 𝐸𝑚-𝐸𝑛 выражена переменной 𝑥. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда 𝑥 очень мало), функция sin²𝑥/𝑥² достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 приблизительно равны друг другу.
Если матричный элемент 𝑉𝑚𝑛 изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней ρ(𝐸𝑚) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением
4|𝑉