𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
⎧
⎪
⎩
1
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
𝑚𝑝 𝑑
Ω
|𝑣(𝐪)|²
.
(6.91)
Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол 𝑑Ω) как 𝑑σ (ср. § 4 и 6 ). Так как в качестве исходных мы взяли волновые функции φ𝑛, нормированные на единичный объём (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объёме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь 𝑑σ в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц 𝑢1=𝑝1/𝑚. Поэтому
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑑
Ω
=
𝑢
1
𝑑σ
=
𝑝1
𝑚
𝑑σ
.
(6.92)
Для эффективного сечения отсюда следует выражение
𝑑σ
𝑑Ω
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
,
(6.93)
которое в точности совпадает с ранее полученным выражением
Задача 6.23. Покажите, что для сечения 𝑑σ/𝑑Ω получится тот же самый результат и в том случае, если волновая функция φ𝑛 нормирована на единицу в некотором произвольном объёме 𝑉.
Задача 6.24. Пусть потенциал 𝑉 — периодическая функция времени. Например, положим 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)(𝑒𝑖ω𝑡+𝑒-𝑖ω𝑡). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним из следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого 𝐸кон=𝐸нач+ℏω (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где 𝐸кон=𝐸нач-ℏω (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний ρ(𝐸) должна вычисляться для этих новых значений 𝐸. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2π
ℏ
|𝑀
𝑛→𝑚
|²
[δ(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
-ℏω)
+δ(𝐸
𝑚
-𝐸
𝑛
+ℏω)]
.
(6.94)
Задача 6.25. Явление фотоэффекта показывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление заключается в том, что свет частоты ω, попадая на тонкий слой металла, с определённой вероятностью вызывает испускание электрона с энергией ℏω. Возможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волна? Какие соображения (используя результаты задачи 6.24) вы можете привести в пользу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики?
Задача 6.26. Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня 𝐸1 и 𝐸2 и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)𝑓(𝑡). Покажите, что вероятность перехода составит
𝑃(𝑛→𝑚)
=
|𝑉
12
|²
|φ(ω
0
)|²
,
(6.95)
если функцию 𝑓(𝑡) можно представить в виде интеграла Фурье
𝑓(𝑡)
=
∞
∫
-∞
φ(ω)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑑ω
2π
(6.96)
и положить ω0=(𝐸2-𝐸1)/ℏ. В случае, когда 𝑓(𝑡) — известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина φ(ω), определяемая обратным преобразованием
φ(ω)
=
𝑇
∫
-𝑇
𝑓(𝑡)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑒𝑡
,
(6.97)
оказывается зависящей от размеров 𝑇 области изменения переменной интегрирования 𝑡, 𝑇. Если 𝑇 очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины |φ(ω0)|² пропорционален 𝑇. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную произведению времени и «интенсивности» 𝑓 на единицу интервала частоты, взятую при значении ω0 («интенсивность», или «мощность», равна среднеквадратичному значению функции 𝑓 за время 1 сек). Таким образом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (𝐸2-𝐸1)/ℏ.