Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний 𝑚 и 𝑛 потенциал 𝑉𝑚𝑛. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния 𝑘≠𝑚 для которых 𝑉𝑘𝑚≠0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку 𝑛≠𝑚, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.
Предположим, что потенциал 𝑉 не зависит от времени 𝑡. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен λ²𝑚𝑛, и если 𝑇=𝑡2-𝑡1, то из соотношения (6.74) будет следовать, что
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚𝑡2-𝐸𝑛𝑡1)
λ
(2)
𝑚𝑛
=-
1
ℏ²
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝑇
∫
0
𝑑𝑡
4
𝑡3
∫
0
𝑑𝑡
3
×
×
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑡4
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑛)𝑡4
=
=
𝑖
ℏ
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝑇
∫
0
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑡4
(𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑛)𝑡4
-1)
𝑑𝑡4
𝐸𝑘-𝐸𝑛
=
=
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
-
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑘
⎫
⎪
⎭
.
(6.98)
Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной 𝑇, описывает переход в состояния с энергией 𝐸𝑚=𝐸𝑛. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент 𝑀𝑛→𝑚 принимает вид
𝑀
𝑛→𝑚
=
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
.
(6.99)
Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.
Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние 𝑚, но и в любое состояние 𝑘, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае 𝑉𝑘𝑛=0 для всех состояний, у которых 𝐸𝑘=𝐸𝑛. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность 𝐸𝑛-𝐸𝑘 почти равна нулю, но при этом и величина 𝑉𝑘𝑛 в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по 𝑘 в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке 𝐸𝑘=𝐸𝑚, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении 𝐸𝑘, что и знаменатель.
С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ε→0 и даёт нам математически правильное выражение: