𝑀
𝑛→𝑚
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛-𝑖ε
(6.100)
(для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит.
Прежде всего следует заметить, что при больших значениях 𝑇 мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную 𝑇) лишь в том случае, когда энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 практически равны друг другу (с точностью до величин порядка ℏ/𝑇). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда 𝐸𝑘≈𝐸𝑚; если же энергия 𝐸𝑚 не слишком близка к 𝐸𝑛, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией 𝐸𝑘 для всех значений 𝐸𝑘, близких к 𝐸𝑚. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи 𝐸𝑘=𝐸𝑚, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор
𝑒(𝑖/ℏ)ε𝑇-1
ε
𝑑ε
,
где ε=(𝐸𝑚-𝐸𝑘). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от -δ до +δ. Имеем
δ
∫
-δ
𝑒(𝑖/ℏ)ε𝑇-1
ε
𝑑ε
=
δ𝑇/ℏ
∫
-δ𝑇/ℏ
𝑒𝑖𝑦-1
𝑦
𝑑𝑦
=
δ𝑇/ℏ
∫
-δ𝑇/ℏ
⎧
⎪
⎩
cos 𝑦-1
𝑦
+
𝑖 sin 𝑦
𝑦
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑦
.
(6.101)
Первый интеграл в этом выражении берётся от нечётной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда 𝑇→∞ (так как δ𝑇/ℏ→∞):
2𝑖
∞
∫
0
sin 𝑦
𝑦
𝑑𝑦
=
2π𝑖,
так что вероятность перехода невелика. Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (𝐸𝑘-𝐸𝑛)-1 и (𝐸𝑚-𝐸𝑘)-1 приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 приблизительно равны.
Выбрав некоторое малое значение энергии Δ, разделим сумму по 𝑘 в выражении (6.98) на две части: часть 𝐴, для которой |𝐸𝑘-𝐸𝑛|≥Δ, и часть 𝐵, для которой |𝐸𝑘-𝐸𝑛|<Δ. Величину Δ мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент 𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛 был приблизительно постоянен, когда энергия 𝐸𝑘 будет принимать значения в интервале 2Δ вблизи точки 𝐸𝑛. Выбранная таким образом величина разности энергий Δ является конечной величиной, и 𝑇 можно взять настолько большим, чтобы выполнялось ℏ/𝑇 ≪ Δ, а это означает, что |𝐸𝑛-𝐸𝑚|≪Δ.
Итак, для части 𝐴 выполняется неравенство |𝐸𝑘-𝐸𝑛|≥Δ. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов. Вклад вносит только первый член, и он равен
𝑎
𝑒𝑖𝑥-1
𝑥
𝑇
ℏ
,
(6.102)
где 𝑥=(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/ℏ и
𝑎
=
(𝐴)
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
.
Суммирование здесь выполняется по всем значениям 𝐸𝑘, за исключением тех, которые попадают в интервал ±Δ вблизи 𝐸𝑚. Эта сумма почти не зависит от Δ, и когда Δ→0, она определяет главное значение интеграла. Поэтому в пределе при Δ→0 мы можем написать
𝑎
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝐏𝐏
1
𝐸𝑘-𝐸𝑛
,
(6.103)
где выписан член первого порядка и символом 𝐏𝐏 отмечено, что он берётся в смысле главного значения.
В части 𝐵 мы будем считать фактор 𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛 постоянным и равным его значению в точке 𝐸𝑘=𝐸𝑚. Другими словами, мы заменим