(𝐵)
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝐹(𝐸
𝑘
)
выражением
⎡
⎢
⎣
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
δ(𝐸
𝑘
-𝐸
𝑚
)
⎤
⎥
⎦
𝐸𝑚+Δ
∫
𝐸𝑚-Δ
𝐹(𝐸
𝑘
)
𝑑𝐸
𝑘
,
(6.104)
которое запишем как в 𝐼, где
𝑏
=
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
δ(𝐸
𝑘
-𝐸
𝑚
)
(6.105)
и
𝐼
=
𝐸𝑚+Δ
∫
𝐸𝑚-Δ
𝑑𝐸𝑘
𝐸𝑘-𝐸𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
-
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑘
⎫
⎪
⎭
.
(6.106)
Положив далее (𝐸𝑚-𝐸𝑛)(𝑇/ℏ)=𝑥 и (𝐸𝑘-𝐸𝑛)(𝑇/ℏ)=𝑦, так что (𝐸𝑚-𝐸𝑘)(𝑇/ℏ)=𝑥-𝑦, получим
𝐼
=
𝑇
ℏ
Δ𝑇/ℏ
∫
-Δ𝑇/ℏ
𝑑𝑦
𝑦
⎧
⎪
⎩
𝑒𝑖𝑥-1
𝑥
-
𝑒𝑖(𝑥-𝑦)-1
𝑥-𝑦
⎫
⎪
⎭
.
(6.107)
Этот интеграл легче всего вычислить интегрированием по контуру, считая 𝑦 комплексной переменной и деформируя контур интегрирования. Вместо интегрирования по прямой от -Δ𝑇/ℏ до Δ𝑇/ℏ будем интегрировать по полуокружности радиуса Δ𝑇/ℏ ниже действительной оси. Поскольку отношение Δ𝑇/ℏ очень велико, а вклад второго члена пренебрежимо мал и поскольку
Δ𝑇/ℏ
∫
-Δ𝑇/ℏ
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑖π
,
мы получим 𝐼=𝑖π(𝑇/ℏ)(𝑒𝑖𝑥-1)/𝑥. Складывая части 𝐴 и 𝐵, получаем, наконец, выражение для амплитуды
(𝑎+𝑖π𝑏)
(𝑒𝑖𝑥-1)𝑇
𝑥ℏ
.
(6.108)
Соответствующая вероятность перехода имеет вид (6.86), где
𝑀
𝑛→𝑚
=
𝑎+𝑖π𝑏
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
⎡
⎢
⎣
𝐏𝐏
1
𝐸𝑘-𝐸𝑛
+
𝑖π
(𝐸
𝑘
-𝐸
𝑚
)
⎤
⎥
⎦
.
(6.109)
Подобно тому как это уже было сделано в соотношении (6.100), последнюю скобку можно записать как (𝐸𝑘-𝐸𝑚-𝑖ε)-1, где необходимо взять предел при ε→0.
Из формулы (6.100) мы видели, что даже в том случае, когда невозможен прямой переход 𝑛→𝑚 из состояния 𝑛 в состояние 𝑚, тем не менее можно допустить, что такой переход может осуществляться через некоторое так называемое промежуточное состояние.
Этот процесс можно себе представить следующим образом: система, которая находилась первоначально в состоянии 𝑛, переходит из этого состояния в некоторое промежуточное состояние 𝑘 и затем уже из состояния 𝑘 переходит в конечное состояние 𝑚. Амплитуда такого опосредствованного перехода определяется формулой (6.99). Однако физически неправильно было бы говорить, что рассматриваемый процесс действительно осуществляется через то или иное промежуточное состояние 𝑘; фактически это утверждение лишь отражает тот факт, что в характеристиках поведения квантовомеханической системы имеются определённые амплитуды вероятности переходов через различные промежуточные состояния 𝑘 и что вклады от этих амплитуд интерферируют друг с другом 1).
1) Иными словами, даже в случае, когда невозможен прямой переход 𝑛→𝑚, имеется конечная вероятность найти систему в состоянии 𝑚, находившуюся первоначально в состоянии 𝑛, что можно понимать как переход в состояние 𝑚 через некоторое промежуточное состояние.— Прим. ред.