.
Рис. 3.3. Две волны расположены так, что полностью нейтрализуют друг друга. Верхняя и нижняя волна находятся в противофазе, то есть максимумы одной соответствуют минимумам другой. Когда эти волны складываются, они гасят друг друга, что и показывает «волна» внизу в виде прямой линии
Две волны на рис. 3.3 находятся в противофазе, то есть максимумам верхней волны соответствуют минимумы нижней волны, и наоборот. В результате, разумеется, они при сложении полностью погасят друг друга. Это показано в нижней части рисунка, где волна становится совершенно прямолинейной. Если говорить о циферблатах, то все 12-часовые циферблаты верхней волны, отображающие ее пики, соответствуют 6-часовым циферблатам нижней волны, отображающим ее минимумы. Собственно, везде стрелки на циферблатах верхней волны указывают в сторону, противоположную циферблатам нижней волны.
На этом этапе кажется, что ввод циферблатов для описания волн – излишнее усложнение.
Конечно, если мы хотим сложить две волны воды, то все, что нужно, – сложить высоты каждой из волн, для чего никаких циферблатов не требуется. Да, для обычных водяных волн это верно, но мы не сумасшедшие и ввели циферблаты, имея на то свои основания. Очень скоро обнаружится, что гибкость, достигнутая с их помощью, совершенно необходима, когда дело дойдет до квантовых частиц.
Держа это в уме, ненадолго остановимся и попробуем сформулировать точное правило сложения циферблатов. В случае на рис. 3.3 правило должно выглядеть так, что все циферблаты «взаимно отменяются», так что ничего не остается: 12 часов отменяет 6 часов, 3 часа отменяет 9 часов и т. д. Такая совершенная взаимная нейтрализация, разумеется, отражает тот особый случай, когда волны находятся в идеальной противофазе. Попробуем найти общее правило, работающее для сложения волн любого расположения и любой формы.
На рис. 3.4 показаны еще две волны, на этот раз соединяющиеся по-другому: одна немного смещена относительно другой. Мы вновь отметили максимумы, минимумы и промежуточные точки циферблатами. Сейчас 12-часовой циферблат верхней волны соответствует трехчасовому циферблату нижней. Мы попытаемся сформулировать правило, которое позволит складывать эти циферблаты. Оно состоит в том, что нужно взять две стрелки и соединить их головкой и хвостом. После этого достраиваем треугольник, рисуя новую стрелку, которая сводит вместе две предыдущие. Пример приведен на рис. 3.5. Новая стрелка отличается по длине от двух других и указывает в другом направлении; это новый циферблат, отображающий сумму двух предыдущих.
Рис. 3.4. Две волны смещены относительно друг друга. Верхняя и средняя волны складываются, образуя нижнюю волну
Теперь можно добиться большей точности и с помощью простой тригонометрии вычислить результаты сложения любой конкретной пары циферблатов. На рис. 3.5 мы складываем 12-часовой и 3-часовой циферблаты. Допустим, длина стрелок двух первых циферблатов – 1 см (что соответствует максимальной высоте волны – 1 см). Когда мы сводим стрелки головкой к хвосту, получается прямоугольный треугольник, две стороны которого имеют длину 1 см каждая. Стрелка нового циферблата будет иметь длину третьей стороны треугольника – гипотенузы. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: h² = x² + y². Подставляем числа: h² = 1² + 1² = 2. Итак, длина новой стрелки циферблата h будет равняться квадратному корню из 2, то есть примерно 1,414 см. В каком направлении будет указывать эта новая стрелка? Для этого нужно узнать величину угла треугольника, отмеченного на рисунке буквой θ. В нашем примере, когда две стрелки одинаковой длины, одна из которых указывает на 12, а другая на 3, можно найти ответ и без всякой тригонометрии. Очевидно, что гипотенуза образует угол 45°, так что новое «время» будет находиться между 12 и 3 часами – это половина второго. Конечно, такой пример – особенный случай. Мы выбрали такие циферблаты, чтобы их стрелки располагались под прямыми углами и имели одинаковую длину, а это упрощает математику. Но очевидно, что можно вычислить длину стрелки и получающееся время при сложении любой пары циферблатов.