pour les sections rectangulaires
et
pour les sections circulaires.
Dans la pratique, la résistance au cisaillement du béton est prise égale au dixième de la résistance à la compression, chiffre sensiblement égal à la ré-
sistance à la traction. Dans une poutre métallique, la contrainte de glissement longitudinale (dû à la flexion) est en tous points égale à la contrainte de glissement transversale due à l’effort tranchant. Dans les matériaux fibreux (tel que le bois), cette égalité théorique n’est plus exacte : la contrainte de glissement longitudinale n’est qu’une fraction comprise entre et de la
contrainte transversale.
Torsion
C’est une déformation qui se rattache au cisaillement : elle met en jeu le même module d’élasticité transversale G, appelé encore module de torsion, ou module de Coulomb.
Dans un tube creux assez mince,
l’effet de torsion dans une section transversale est un cisaillement simple.
Dans un tube plein, le cisaillement en chaque point est le même quand ces points sont à la même distance de l’axe ; la valeur du cisaillement est proportionnelle à la distance entre l’élé-
ment de surface et l’axe de torsion.
Les fibres longitudinales deviennent des hélices à pas constant tant qu’il n’apparaît pas une striction de torsion (étranglement). La contrainte de torsion simple t en un point A d’une section, distant de r de l’axe, est t = G r θ, θ étant l’angle de torsion.
Si l’on considère par exemple un fil de section circulaire de rayon r, de longueur l et tendu par un poids, C étant le moment du couple qui tord le fil d’un angle θ, on a la relation :
Si le fil n’est pas circulaire, I étant le moment d’inertie de la section S du fil
par rapport à l’axe qui lui est perpendiculaire et qui passe par son centre de gravité, la relation précédente devient : Le coefficient k est de 0,025 3 pour une section elliptique ; 0,023 4 pour une section carrée ; 0,023 8 pour un rectangle de côté a = 2 b ; 0,024 9 si a = 4 b et 0,026 si a = 8 b. Dans la pratique, il y aurait danger, pour un arbre de transmission, à dépasser une torsion de 1/4 de degré par mètre de longueur.
Flexion plane
Lorsqu’une poutre horizontale est soumise à des forces verticales, on est dans le cas de la flexion simple. Chaque fibre downloadModeText.vue.download 80 sur 621
La Grande Encyclopédie Larousse - Vol. 17
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horizontale devient, après déformation, une courbe située dans un plan vertical.
Dans une poutre sur appui, les
contraintes de traction et de compression dans les fibres extrêmes (les plus fatiguées) ont pour valeur :
— en compression,
— en traction,
M étant le moment de flexion dans la section considérée, I le moment d’inertie en section nette (trous de rivets déduits) de la section S par rapport à l’axe de flexion simple passant par le centre de gravité, v et v′ les distances à cet axe de la fibre extrême, soit comprimée, soit tendue. Les quantités et sont appelées modules de résistance. Si R et R′ sont les taux de sécurité (valeur de la contrainte maximale admissible), on doit avoir :
— pour la fibre la plus comprimée,
— pour la fibre la plus tendue,
Dans le cas du profil symétrique en double T, on a
si le matériau est un métal, R = R′ et la condition unique de sécurité est y Moment de flexion. En flexion
plane, le moment de flexion est égal à la somme des moments, par rapport au centre de gravité de cette section, de toutes les forces appliquées, y compris les forces de liaison et les réactions des appuis.
y Effort de traction maximal dans un prisme soumis à flexion sous moment constant. Si P est la force appliquée, a la largeur, b la hauteur et L la longueur du prisme, la contrainte de traction R a pour valeur :
— en section rectangulaire,
— en section carrée,
y Contrainte maximale de traction dans une poutre posée sur deux appuis simples et soumise en son milieu à une charge concentrée P. Si M est le moment fléchissant (ou moment de flexion), I le moment d’inertie, a la largeur et b la hauteur, on a :
— en section rectangulaire,
— en section carrée
Flexion composée
Dans les poutres, la flexion peut s’exercer simultanément avec une compression ou une traction ; c’est le cas d’une haute cheminée ou d’une tour élancée qui subit à la fois la compression de son poids et l’effet de flexion d’un vent violent.
Coefficient de sécurité n
La charge pratique que l’on adopte en construction est une fraction de la charge de rupture. Pour le béton armé, on prend un coefficient de sécurité n égal à 3,6 (les 28/100 de la résistance à la rupture).
Surcharges mobiles et lignes
d’influence
Pour étudier et calculer les effets des surcharges mobiles (véhicules sur un
pont), il est commode d’avoir recours aux « lignes d’influence » des effets élastiques. La ligne d’influence des moments fléchissants M dans une section fixe S d’abscisse x sous l’action d’une charge mobile P d’abscisse y a pour ordonnée z telle que z étant compté à l’aplomb de la charge P. Si on a pu tracer la ligne d’influence z, on en déduit le moment fléchissant M = Pz.
S’il s’agit d’un convoi composé de plusieurs charges roulantes P1, P2, P3, ..., Pn, on a :
M = P1 z1 + P2 z2 + P3 z3 + ... Pn zn.
On peut avoir des lignes d’influence n de tous les effets élastiques pour une section déterminée. La notion de lignes d’influence est très importante en construction. C’est la loi de Hooke sur la superposition des effets des forces qui y conduit directement : si une force unité, appliquée successivement aux points A1, A2, A3, ..., An d’une poutre, produit des effets y1, y2, y3, ..., yn en un même point G, des forces P1, P2, P3, ..., Pn appliquées simultanément, mais respectivement aux différents points A1, A2, A3, ..., An, produisent en G un effet total Y tel que
Y = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + ... + Pn yn.
Ce principe conduit immédiatement à la notion de ligne d’influence. Si une charge unique de valeur 1 parcourt la poutre d’un bout à l’autre, par exemple de gauche à droite, à chaque instant sa position est définie par l’abscisse a de la verticale qui représente sa ligne d’action. Si pour chaque position, donc pour chaque valeur a, on détermine la valeur y de l’effet produit au point G, et si sur la verticale a on porte à partir d’une ligne de référence un segment PM représentant la valeur de y, l’ensemble des points M formera une courbe qui est la ligne d’influence de l’effet produit au point G. Une fois en possession de cette ligne d’influence, on pourra obtenir l’effet produit au point G par un système quelconque de charges P1, P2, P3, ..., Pn appliquées suivant les verticales d’abscisse α1, α2, α3, ..., αn. Il suffira de relever les ordonnées y1, y2, y3, ..., yn de la ligne d’influence correspondant à ces verticales et de former l’expression
Y = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 + ... + Pn yn.
Si on a affaire à une charge continue d’intensité égale à p de sorte que la charge de l’élément de longueur da soit p dα, on aura :
Poutres à treillis
C’est un système formé d’un ensemble de barres assemblées en leurs extré-
mités, ou noeuds. Les barres sont re-liées entre elles par une articulation ; les forces extérieures ont leur point d’application aux noeuds du système à treillis. Les barres ne subissent de ce fait que des efforts de traction ou de compression. Le système en treillis peut être isostatique ou hyperstatique.
y Dans le treillis simple, ou système triangulé, une section transversale quelconque ne rencontre que trois barres ; ce système est isostatique.
Les réactions des appuis étant préalablement déterminées, on calcule les tractions ou compressions dans les barres par la méthode de Cremona ou par celle de Ritter. Dans la méthode de Ritter, ou méthode des moments, une section transversale ne rencontrant que trois barres, on écrit l’égalité des moments des forces directement appliquées et des réactions d’appui situées à gauche de la section S et de la somme des moments de traction