Почему это всего лишь метафоры? Здесь перед нами та же разновидность принципа непрерывности: максимум непрерывности. А вот что не получается как в метафоре шахматной игры, так и в метафоре заполнения? Дело в том, что в обоих случаях вы ссылаетесь на некое вместилище. Мы показываем ситуацию так, как если бы возможные миры соперничали между собой за то, чтобы воплотиться в определенном вместилище. В случае с заполнением это поверхность заполнения; в случае с шахматной игрой это шахматная доска. Однако в условиях сотворения мира нет предварительно данного вместилища!
Стало быть, надо сказать, что мир, который доходит до существования, – это тот мир, который реализует в себе самом максимум непрерывности, то есть содержит наибольшее количество реальности или сущности. Я бы не сказал «существования», так как существовать будет мир, содержащий наибольшее количество не существования, но сущности в виде непрерывности. Непрерывность – это на самом деле и есть средство, способствующее содержанию максимального количества реальности.
Итак, философия – это прекраснейшее зрелище. В этой лекции я ответил на вопрос, что такое бесконечный анализ. Я еще не ответил на вопрос, что такое совозможность. Вот так.
Лекция 3
(29.04.1980)
Сегодня мы должны рассмотреть вещи забавные, способствующие отдыху, но также и весьма тонкие.
Ответ на вопрос о дифференциальном исчислении: мне кажется, невозможно сказать, что в конце XVII века и в XVIII веке существуют люди, для которых дифференциальное исчисление представляет собой искусственный прием, и люди, для которых дифференциальное исчисление есть нечто реальное. Мы не можем сказать этого, потому что разрыв проходит не здесь. Лейбниц никогда не переставал говорить, что дифференциальное исчисление – это всего лишь прием, символическая система. Стало быть, по этому вопросу никаких разногласий нет. Разногласия начинаются в понимании того, что такое символическая система, но в том, что касается несводимости дифференциальных знаков ни к какой математической реальности, то есть к реальности геометрической, арифметической и алгебраической, существует всеобщее согласие. Расхождение появляется вот где: там, где одни полагают, что дифференциальное исчисление – это всего лишь условность, и условность очень хитрая, а другие считают, что, наоборот, его искусственный характер по отношению к математической реальности позволяет ему быть в некоторых аспектах адекватным по отношению к реальности физической. Лейбниц никогда не считал, что его анализ бесконечно малых, его дифференциальное исчисление в том виде, как он их задумал, достаточны для того, чтобы исчерпать область бесконечного в том виде, как он, Лейбниц, ее понимал. Возьмем, например, исчисление. Существует то, что Лейбниц называет исчислением минимума и максимума, которое совершенно не зависит от дифференциального исчисления. Стало быть, дифференциальное исчисление соответствует известному порядку бесконечного. Верно, что ни одно качественное бесконечное не может быть уловлено дифференциальным исчислением, однако Лейбниц настолько осознает это, что он устанавливает другие разновидности исчисления, соотносящиеся с другими порядками бесконечного. Это направление анализа качественного бесконечного, или даже, попросту говоря, актуального бесконечного, закрыл отнюдь не Лейбниц. Закрыла этот путь кантовская революция; именно кантовская революция навязала известную концепцию неопределенного и занялась наиболее безусловной критикой актуального бесконечного. Этим мы обязаны Канту, а вовсе не Лейбницу.
В геометрии, начиная с греков и до XVII века, вы сталкиваетесь с двумя типами проблем. Есть проблемы, где речь идет о том, чтобы найти так называемые прямые линии и так называемые прямолинейные плоскости. Здесь достаточно классической геометрии и классической алгебры. Вы берете проблемы и достигаете необходимых решений: это Евклидова геометрия. Еще у греков, а затем, разумеется, в Средние века геометрия непрестанно оказывается перед проблемой иного характера: это когда необходимо искать и определять кривые и криволинейные плоскости. Вот в чем все геометры согласны между собой: здесь классических методов геометрии и алгебры уже недостаточно.
Уже греки придумали особый метод, который называется методом исчерпания: он позволяет определять кривые и криволинейные плоскости, а также решать уравнения разных степеней, и предел здесь – бесконечность, бесконечность разнообразных степеней в уравнении. Вот эти-то проблемы делают необходимым дифференциальное исчисление и вдохновляют Лейбница на его открытие; дифференциальное исчисление принимает эстафету у старого метода исчерпания. Если вы сочетаете математическую символику с теорией, а не привязываете ее к проблеме, для которой эта символика создана, то вы уже ничего не сможете понять. Дифференциальное исчисление имеет смысл лишь тогда, когда перед вами уравнение, чьи члены возведены в разные степени. Если же у вас этого нет, то говорить о дифференциальном исчислении – нонсенс. Важно рассмотреть теорию, соответствующую некоей символике, но вы должны столь же полно рассмотреть и практику. Следовательно, в анализе бесконечно малых ничего понять невозможно, если мы не увидим, что все физические уравнения по природе своей уравнения дифференциальные. Иначе физические явления изучать невозможно – и Лейбниц здесь будет очень силен: Декарт располагал всего лишь геометрией, алгеброй и тем, что придумал сам Декарт, назвав аналитической геометрией, но, сколь бы далеко он ни продвигался в этом открытии, оно фактически предоставило ему средства схватывать фигуры и движение лишь в аспекте прямолинейности; а ведь множество явлений природы суть в конечном счете, феномены криволинейного типа, и здесь учение Декарта не работает. Декарт застрял на фигурах и движении. Лейбниц переведет это на свой язык: одно и то же – говорить, что природа работает криволинейным способом, и говорить, что помимо фигур и движения существует нечто, а именно – область сил. И на самом уровне законов движения Лейбниц все изменит как раз благодаря дифференциальному исчислению. Он скажет, что сохраняется не mv, то есть не масса и скорость; то, что сохраняется, есть mv2. Единственное различие в формуле – возведение v во вторую степень, и это стало возможным, потому что именно дифференциальное исчисление позволяет сравнивать степени. У Декарта не было технического средства сказать mv2. С точки зрения языка, геометрии, арифметики и алгебры mv2 есть сугубый нонсенс.