Почему я цитирую этот пример из Пуанкаре? Вы найдете соответствующие понятия у Лейбница. Там вырисовывается весьма любопытный пейзаж – с седлами, очагами, центрами. Это напоминает своего рода астрологию математической географии. Вы видите, что мы пришли от простейшего к более сложному: на уровне простого квадрата, прямолинейной фигуры, сингулярности были экстремумами; на уровне простой кривой перед вами были сингулярности, еще очень простые для определения; принцип их определения был прост, сингулярность была единственным случаем, у которого не было близнеца, или же это был случай, с каким отождествлялись максимум и минимум. Здесь, когда вы переходите к более сложным кривым, перед вами более сложные сингулярности. Стало быть, область сингулярностей, строго говоря, бесконечна. Какова будет ее формула? Пока вам приходится иметь дело с так называемыми прямолинейными проблемами, то есть действовать там, где речь идет об определении прямых или прямолинейных плоскостей, вам не нужно дифференциальное исчисление. У вас возникает потребность в дифференциальном исчислении, как только перед вами встает задача определения кривых и криволинейных плоскостей. Это означает – что? В чем сингулярность связана с дифференциальным исчислением? В том, что сингулярная точка – это точка, по соседству с которой дифференциальное отношение dy : dx меняет знак.
Например, вершина, относительная вершина кривой перед тем, как кривая начинает спускаться: итак, вы скажете, что дифференциальное отношение меняет знак. Оно меняет знак в этом месте – по мере чего? По мере того, как по соседству с этой точкой оно становится равным нулю или бесконечности. Здесь вы находите тему минимума и максимума.
Все это множество состоит вот в чем: вы видите, как соотносятся сингулярное и обычное, когда собираетесь определить сингулярное в зависимости от криволинейных проблем, соотносящихся с дифференциальным исчислением, – и это обнаруживается в напряжении, или в оппозиции между сингулярной точкой и точкой обычной, или между сингулярной и регулярной точками. Именно это математика дает нам в качестве базового материала, и опять-таки если верно, что в простейших случаях сингулярное есть экстремум, то в других простых случаях это максимум, или минимум, или даже оба сразу; сингулярности устанавливают здесь все более сложные отношения на уровне все более усложняющихся кривых.
Я сохраняю следующую формулу: сингулярность есть заранее избранная или детерминированная точка на кривой, точка, по соседству с которой дифференциальное отношение меняет знак, и свойство сингулярной точки состоит в том, чтобы продлеваться на целый ряд обычных, зависящих от нее точек, вплоть до соседства со следующими сингулярностями. Итак, я утверждаю, что теория сингулярностей неотделима от теории продления или от деятельности по продлению.
Не видим ли мы здесь элементы для возможного продления непрерывности? Я бы сказал, что непрерывность, или непрерывное, есть продление некоей примечательной точки на обычный ряд, вплоть до соседства со следующей сингулярностью. Внезапно я становлюсь очень довольным, так как наконец-то нашел первое гипотетическое определение того, что такое непрерывное. Это выглядит тем более причудливо, что для того, чтобы получить это определение непрерывного, я воспользовался тем, что внешне вводит дискретность, то есть сингулярность, когда нечто меняется; и, видите, это отнюдь не противостоит моему приблизительному определению, а, наоборот, позволяет мне его сделать.
Лейбниц говорит нам: мы знаем, что у всех нас есть восприятия, например я вижу красное, я слышу шум моря. Это восприятия; более того, за ними следовало бы зарезервировать особое название, так как они являются осознанными. Такое восприятие, наделенное сознанием, то есть восприятие, воспринятое как таковое неким «Я», мы называем апперцепцией, от слова apercevoir, апперципировать. Ведь в действительности я апперципирую восприятие. Апперцепция означает осознанное восприятие. Лейбниц говорит нам, что, коль скоро это так, должны быть неосознанные восприятия, коих мы не апперципируем. Мы называем их малыми восприятиями, это бессознательные восприятия. Зачем ему это? Действительно, зачем? Лейбниц приводит две причины: дело в том, что наши апперцепции, наши осознанные восприятия всегда являются глобальными. То, из чего мы апперципируем, всегда относится к некоему целому: вот к этому рассуждению Лейбниц постоянно прибегает – если есть сложное, то необходимо, чтобы было и простое, – и возводит его на уровень принципа; а это не само собой разумеется, вы понимаете, что он имеет в виду? Он имеет в виду, что неопределенного не существует, а это само собой не доказывается, так как подразумевает актуальное бесконечное. Необходимо, чтобы существовало простое, так как существует сложное. Немало людей подумают, что целое является сложным до бесконечности, и это сторонники неопределенного, но Лейбниц по иным причинам думает, что бесконечное является актуальным, а значит, необходимо, чтобы существовало [нрзб.]. Раз это так, то, поскольку мы воспринимаем общий шум моря, когда сидим на побережье, необходимо, чтобы у нас были малые восприятия каждой волны – как обобщенно говорит Лейбниц – и, более того, каждой капли воды. Почему? Это своего рода логическое требование, и мы увидим, что оно означает.