близкой к 1/4), даже в том случае, когда мы осведом-
было выдвинуто множество возражений. По большей
лены о наличии двух или трех бросаний правильной
части они относятся к идее бесконечной последователь-
кости, при которых не следует заключать пари на этих
ности событий и предела относительных частот. Я не
условиях, разве что нам удалось бы их идентифициро-
буду сейчас говорить об этих возражениях, поскольку, вать. Мы знаем, что для этих бросаний вероятность вы-
по моему мнению, на них вполне можно удовлетвори-
падения шестерки меньше 1/4 и фактически равна 1/6, тельно ответить. Вместе с тем имеется одно простое и
но мы прекрасно сознаем невозможность идентифициро-
важное возражение, которое, насколько мне известно, в
вать эти бросания и то, что они оказывают очень не-
излагаемой далее форме никогда ранее не выдвига-
большое влияние на всю последовательность при до-
лось.
статочно большом числе ставок. После сказанного
Предположим, что в нашем распоряжении имеется
становится совершенно ясно, что, даже приписывая
кость со свинцом и после длинной серии экспериментов
этим неизвестным бросаниям вероятность, равную 1/6, мы убедились, что вероятность выпадения шестерки на
мы не имеем и не можем иметь в виду под словом
этой кости со свинцом практически равна 1/4. Теперь
«вероятность» «разумный коэффициент ставок, полу-
рассмотрим последовательность Ь,состоящую, скажем, ченный на основе всего имеющегося в нашем распоря-
из бросаний кости со свинцом, но вместе с тем вклю-
жении знания», как утверждается в субъективной тео-
чающую и несколько бросаний (два или самое боль-
рии вероятностей.
шее три) однородной и симметричной кости. Об этих
Оставим, однако, субъективную теорию в покое. Что
бросаниях правильной кости нам, очевидно, следует
Может ответить на наши возражения сторонник частот-
сказать, что вероятность выпадения шестерки в этом
ной теории?
случае равна 1/6, а не 1/4, хотя эти бросания, согласно
Будучи в течение многих лет приверженцем частот-
422
423
ной теории, я прекрасно знаю, что же в таком случае
£ такому классу.Дело в том, что в нашем примере с
ответил бы по крайней мере один из ее сторонников.
не является виртуально бесконечной последователь-
Данное нами описание последовательности bпока-
ностью. Согласно нашему предположению, она содер-
зывает, что bслагается из бросаний кости со свинцом
жит самое большее три элемента. В последовательности
и правильной кости. Согласно нашей оценке или скорее
beшестерка может не выпасть ни разу, выпасть один, нашему предположению, сформулированному на осно-
два или три раза. Но она навернякане встречается в
вании нашего предыдущего опыта или интуиции (каков
последовательности beс частотой 1/6, так как н-ам из-
источник этого предположения — не имеет никакого
вестно,что эта последовательность соостоит не более
значения), грань с цифрой «шесть» будет появляться в
чем из трех элементов.
последовательности бросаний кости со свинцом с часто-
Таким образом, в данном случае имеются две бес-
той 1/4, а в последовательности бросаний правильной
конечные или очень длинные последовательности: (ак-
кости — с частотой 1/6. Обозначим эту последнюю по-
туальная) последовательность bи (виртуальная) по-
следовательность, то есть последовательность бросаний
следовательность с.Рассматриваемые бросания кости
правильной кости, через «с». Тогда имеющаяся у нас
принадлежат сразу к обеим последовательностям. Вся
информация о строении последовательности bтакова: наша проблема заключается в следующем: хотя инте-
(1) p (а,Ь) = 1/4 (или очень близка к 1/4), потому что
ресующие нас бросания принадлежат обеим последо-
почти все бросания производятся костью со свинцом, и
вательностям и хотя нам известно только то, что эти
(2) be— класс бросаний, принадлежащих и последова-
конкретные бросания beвходят в последовательность bтельности Ъ,и последовательности с,— непуст. Посколь-
(но нам неизвестно, где именно они входят, и поэтому
ку же beсостоит из бросаний, принадлежащих после-
мы не можем их идентифицировать), мы все же увере-
довательности с,мы имеем право заявить, что сингу-
ны, что в случае совершения этих бросаний их собствен-
лярная вероятность выпадения шестерки в последова-
ную, реальную сингулярную вероятность следует оце-
тельности бросаний, принадлежащих be,будет равна
нивать как равную 1/6, а не 1/4. Иными словами, хотя
1/6. Это заключение основывается на факте вхождения
совершаемые бросания принадлежат обеим последова-
рассматриваемых сингулярных бросаний в последова-
тельностям, мы не сомневаемся в том, что их сингуляр-
тельность с, для которой ρ (α, с) = 1/6.
ная вероятность должна быть оценена как равная час-
Я думаю, что в свое время я отвечал бы именно та-
тоте последовательности с,а не последовательности Ь.
ким образом. Теперь мне остается только удивляться: И основанием этого является то простое обстоятель-
как я мог удовлетвориться таким ответом! В настоящее
ство, что это — бросания другой (правильной) костью, а
время мне представляется очевидным, что этот ответ
согласно нашей оценке или предположению, в последо-
совершенно неудовлетворителен.
вательности бросаний правильной кости шестерка бу-
Конечно, нет никаких сомнений в совместимости двух
дет выпадать с частотой 1/6.
равенств:
(4) Сказанное означает, что сторонник частотной
(I) p (a, b) =1/4,
теории вынужден модифицировать — на первый взгляд
весьма незначительно — свою теорию. Теперь он может
(II) р(а,Ьс)=1/6.
сказать, что приемлемая последовательность событий
Не вызывает сомнений и то, что оба этих случая мож-
(референтная последовательность, или «коллектив») но реализовать в частотной теории. Мы могли бы,к
всегда должна быть последовательностью повторяющих-
примеру, построить некоторую последовательность Ь,ся экспериментов или, в общем случае, что приемлемые
для которой выполнялось бы равенство (I), а выделен-
последовательности должны быть виртуальными или
ная из нее последовательность be— очень длинная и,, актуальными последовательностями, характеризующими-
возможно, бесконечная последовательность, элементы
ся множеством порождающих, условий,то есть множе-
которой принадлежат одновременно Ь и с, — выполняла
ством условий, при повторении которых получаются
бы равенство (II). Однако наш случай не принадлежит
Элементы данной последовательности.
424
425
Как только вводится эта модификация, наша про-
поскольку вероятность является свойством порождающих
блема немедленно разрешается. Теперь последователь-
его условий.
ность bкак таковая,более не является приемлемой ре-
Без сомнения, сторонник частотной теории может
ферентной последовательностью. Вместе с тем ее основ-
возразить, что вероятность, рассматриваемая как свой-