отвергать закон исключенного третьего,ибо очевидно, ционистская философия геометрии Канта, то есть его
что может возникнуть такая ситуация (фактически она
концепция чистой интуиции пространства, должна быть
была бы практически нормальной ситуацией), где ни
отброшена. Однако, говорит Брауэр, нет необходимости
р,ни не-р не могут быть полностью подкреплены, или
делать это, так как мы можем арифметизировать гео-
доказаны, доступным свидетельством. Однако, по-види-
метрию: мы можем прямо основываться на кантовской
мому, это не было замечено никем до Брауэра.
теории арифметики и на его концепции, что арифмети-
Указанная несостоятельность с отбрасыванием зако-
ка опирается на чистую интуицию времени.
на исключенного третьего особенно поразительна у
Я чувствую, что эта позиция Брауэра больше не мо-
Беркли. Ибо если esse = percipi, тогда истина любого
жет быть принята. Ибо если мы говорим, что кантов-
высказывания о реальности может быть установлена
ская теория пространства сокрушена, перечеркнута не-
только перцептивными высказываниями. Однако Берк-
евклидовой геометрией, тогда мы должны сказать, что
ли, в значительной степени подобно Декарту, предла-
его теория времени сокрушена специальной теорией от-
гает в своих «Трех разговорах...»
носительности, так как Кант говорит совершенно явно, 1 4 , что мы должны от-
вергать р, если не существует основания верить в него.
что имеется только одновремя и что интуитивная идея
Однако отсутствие таких оснований может быть совме-
(абсолютной) одновременности является решающим
стимо с отсутствием оснований верить в не-р.
аргументом в этом отношении16.
Можно было бы утверждать, подобно тому, как это
6. Оценка и критика эпистемологии Брауэра
делал Рейтинг17, что Брауэр не смог бы развить свои
эпистемологические и философские идеи об интуицио-
В настоящем разделе я хочу отдать дань уважения
нистской математике, если бы знал в то время об ана-
Л. Э. Я. Брауэру
логии между эйнштейновской релятивизацией времени
1 5 . Было бы самонадеянны м для мен я
хвалить и тем более самонадеянным критиковать Брауэ
и неевклидовой геометрией. Перефразируя Рейтинга, можно сказать, что это было бы печально.
(даже в мечтах и галлюцинациях)» [50, с. 181]; или: «...по с т о ч к и
зрения теории познания и определения истины важными являются
именно те предложения, которые выражают веру» [53, с. 183]. (См.
ДО того конгресса, на котором был прочитай настоящий доклад. Для
также [52, с. 19] и об «эпистемических установках» у Дгокасса в
тех, кто не знаком с брауэровской (или кантовской) интуиционист-
[13, с. 701—711].) Ясно, что как Рассел, так и Дюкасс принадлежи г
ской философией математики, может быть, лучше опустить этот раз-
к тем традиционным эпистемологам, кто изучает знание в его субъек-
Дел и продолжать читать с разд. 7.
тивном смысле, в смысле второго мира. Традиция идет значительно
10 В «Трансцендентально й эстетике» [31, с. 135] Кант в пункте 1
дальше эмпиризма.
параграфа 4 подчеркивает априорный характер одновременности, 14 См. у Беркли второй разгово р между Гиласом и Филонусом : в пунктах 3 и 4 — что может быть только одновремя и в пункте 4 —
«Для меня достаточное основание не верить в существование чего-
что время является не дискурсивным понятием,а некоторой «чистой
нибудь, если я не вижу основания верить в это» [3, с. 309]. См. так-
формой чувственного созерцания» (или, более точно, определенной
же у Декарта: «Я ... должен ... отбросить как безусловно ложное
чистой формой чувственной интуиции). В последнем параграфе пе-
(«Eperte f a l s a » в латинском варианте) все, в чем мог вообразить
ред заключением он ясно говорит, что интуиция пространства и вре-
малейший повод к сомнению» [12, с. 32].
мени не является интеллектуальной интуицией. (У Канта под созер-
цанием понимается интуиция. — Прим. перев.)15 Этот раздел о Брауэре был вставлен, чтобы отдать дань ува -
жения этому великому математику и философу, умершему незадолго
"См. цитату из работы Рейтинга в разд. 1.
466
30*
467
Однако маловероятно, что на Брауэра оказала
не являются понятиями, сконструированными в нашей
сильное впечатление специальная теория относитель-
чистой интуиции пространства и времени
ности. Он мог бы отказаться ссылаться на Канта как
16.Только та-
ким путем мы можем получить синтетическое знание
на предшественника своего интуиционизма. Но он мог
a priori: наш интеллект в его существенных чертах дис-
бы сохранить свою собственную теорию личноговреме-
курсивен, он обязательно должен действовать в согла-
ни — времени нашего собственного личного и непосред-
сии с логикой, которая является пустой по своему со-
ственного опыта (см. [8] ). И это никоим образом не
держанию, то есть «аналитической».
произошло под воздействием понятия относительности, Согласно Канту, чувственная интуиция предполагает
хотя кантовская теория подверглась подобному воздей-
чистую интуицию: наши чувства не могут делать свою
ствию.
работу, не упорядочивая свои восприятия в рамках
Таким образом, нет необходимости рассматривать
пространства и времени. Таким образом, пространство·
Брауэра как кантианца. Однако мы не можем так лег-
и время предшествуют всей чувственной интуиции; тео-
ко обособлять его от Канта, ибо идея интуиции у Брауэ-
рии пространства и времени — геометрия и арифмети-
ра и использование им термина «интуиция» не могут
ка— также верны a priori. Источник их априорной
быть полностью поняты без анализа такой его пред-
верности есть человеческая способность чистой интуи-
посылки, как кантовская философия.
ции,которая строго ограничена лишь этой областью и
Для Канта интуиция есть источник знания.И «чис-
четко отличается от интеллектуального или дискурсив-
тая» интуиция («чистая интуиция пространства и вре-
ного способа мышления.
мени») является неисчерпаемым источником знания: из
Кант защищает концепцию, что аксиомы математики
нее берет начало абсолютная уверенность.Это есть са-
основываются на чистой интуиции (см. [31, с. 613]): мое важное для понимания идей Брауэра, который яв-
они могут быть «увидены» или «восприняты» в качестве
но заимствует у Канта эту эпистемологическую кон-
истинных нечувственным способом «видения» или «вос-
цепцию.
приятия». Кроме того, чистая интуиция участвует в
Данная концепция имеет свою историю. Кант взял
каждом шаге каждого доказательства в геометрии(и в
ее у Плотина, Фомы Аквинского, Декарта и др. Перво-
математике вообще)
начально интуиция означает, конечно, восприятие: это
19. Чтобы следить за доказатель-
ством, нам требуется глядеть на (нарисованный) чер-
есть то, что мы видим или воспринимаем, если смотрим
теж. Это «смотрение» является не чувственной, а чис-
на некоторый объект или пристально его рассматриваем.
той интуицией, о чем свидетельствует то, что чертеж
Однако начиная по крайней мере уже с Плотина, раз-
часто может быть убедительным, даже если будет изо-
рабатывается противоположность между интуицией,с