как для формалиста они существуют «на бумаге»
ма», под которым мы понимаем учение, согласно кото-
20.
(3) Методологические проблемыо математических
рому математические объекты обладают тем, что я на-
доказательствах.
зываю «автономным» способом существования: они
Мы можем упрощенно различать два главных под-
могут существовать, не будучи созданными нами и, хода ученых к математике. Одни математики могут
следовательно, без доказательства своего существова-
интересоваться главным образом теоремами — истин-
ния.
ностью или ошибочностью математических суждений, До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте-
другие — главным образом доказательствами: вопроса-
мологию, исходя из предположения прежде всего, что
ми существования доказательств той или иной теоремы
она проистекает из попытки решить трудности филосо-
и спецификой таких доказательств. Если преобладаю-
фии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что
щим является первый подход (как это имеет место, содержится в названии данного раздела, — к оценке и
например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с
критике брауэровской эпистемологии.
интересом в открытии математических «фактов» и по-
Исходя из положений настоящего доклада, можно
этому с платонизированной математической эвристикой.
утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, Если же преобладающим выступает второй подход, тог-
по моему мнению, является его понимание того, что
да доказательства являются не просто средствами фор-
математика и, как я могу добавить, весь третий мир
мирования уверенности в теоремах о математических
созданы человеком.
объектах, а самостоятельными математическими объ-
Эта идея является настолько радикально антиплато-
ектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ-
новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности
ром: те построения, которые были доказательствами, не
ее связи с некоторой формой платонизма, под которой
только создавали и утверждали математические объек-
я имею в виду концепцию частичной автономииматема-
ты, они были в то же время сами математическими
тики и третьего мира в том виде, как она описана вы-
-объектами, возможно даже наиболее важными такими
ше, в разд. 3.
объектами. Таким образом, утверждать некоторую тео-
Другим великим достижением Брауэра в философ-
рему означало утверждать существование некоторого
ском плане был его антиформализм — признание им
доказательства для нее и отрицать ее означало утверж-
того, что математические объекты должны существо-
.вать до того, как мы можем говорить о них.
Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэров-
20 См. конец третьег о параграф а работы Брауэр а [5]. Он пишет
ского решения трех групп главных проблем философии
там о существовании не математики, а «математической точности», математики, сформулированных ранее в данном раз-
и, как видно, этот отрывок относится к проблемам (1) и (3) даже
-больше, чем к онтологической проблеме (2). Однако не может быть
деле.
никакого сомнения в том, что он имеет определенное отношение к
(Г) Эпистемологические проблемы:интуиция в це-
проблеме (2). В данном отрывке Брауэр пишет так: «На вопрос, где
лом и теория времени в частности.
существует математическая точность, отвечают πα-разпому... Ин-
Я не предлагаю заменить название «интуиционизм».
туиционист говорит: «В человеческом интеллекте», формалист гово-
рит: «На бумаге»».
Это название, без сомнения, сохранится, но нам важна
473
отказаться от ошибочной философии интуиции как не-
стиц отличается от роли времени в физике твердого
погрешимого источника знания.
тела, особенно в оптике. В то время как физика эле-
Не существует авторитетных источников знания, н
ментарных частиц утверждает о существовании лезвие-
ни один «источник» не является абсолютно надеж-
подобного непротяженного мгновения, «pimctum tem-
ным21. Все приветствуется как источник вдохновения, poris», которое отделяет прошлое от будущего, и тем, стимулирования, включая «интуицию», особенно если
самым существование временной координаты, образо-
она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не
ванной из (континуума) непротяженных мгновений, а в
является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.
конечном итоге мира, «состояние» которого может быть
К тому же следует подчеркнуть, что кантовское чет-
задано для любого такого непротяженного мгновения, кое различение между интуицией и дискурсивным мыш-
ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому
лением не может быть нами принято. «Интуиция», ка-
как существуют пространственно протяженные растры
кой бы она ни была, в значительной степени является
в оптике, чьи части взаимодействуют на значительном-
продуктом нашего культурного развития и наших успе-
пространственном расстоянии, так существуют и протя-
хов в дискурсивном мышлении. Кантовская идея об од-
женные во времени события (волны, обладающие часто-
ном стандартном типе чистой интуиции, присущем всем
тами), чьи части взаимодействуют в течение значитель-
нам (по всей вероятности, только не животным, хотя
ного промежутка времени. Поэтому в силу законов
их перцептуальные возможности сходны с человечески-
оптики в физике не может быть какого-либо состояния
ми), едва ли может быть принята. Ибо после того как
мира в некоторый момент времени.Эта аргументация
мы овладели дискурсивным мышлением, наше интуи-
должна дать и действительно дает совершенно другое
тивное понимание становится весьма отличным от того, понимание нашей интуиции: то, что называлось неопре-
что было у нас прежде.
деленным психологическим даром, не является ни не-
Все сказанное справедливо и в отношении нашей ин-
определенным, ни характерным только для психологии, туиции времени. Я лично считаю сообщение Уорфа о
интуиция подлинна и имеет место уже в физике22.
чрезвычайно специфической интуиции времени индей-
Таким образом, не только общая концепция интуи-
цев племени хопп (см. [55]) убедительным. Однако
дии как непогрешимого источника знания является ми-
даже если это сообщение ошибочно (что, я думаю, ма-
фом, но и наша интуиция времени подвержена критике
ловероятно), оно свидетельствует о возможностях, кото-
и исправлению — точно таким же образом, как, соглас-
р_ые ни Кант, ни Брауэр никогда не рассматривали.
. но брауэровскому допущению, это происходит с нашей
Если Уорф прав, тогда наше интуитивное понимание
• интуицией пространства.
времени, то есть способ, которым мы «видим» времен-
В главном пункте этих своих рассуждений я обязан
ные отношения, частично зависит от нашего языка, на-
философии математики Лакатоса. Этот пункт состоит
ших теорий и мифов, включенных в язык, иначе гово-
P том, что математика (а не только естественные на-
ря — наша европейская интуиция времени в значитель-
уки) растет благодаря критике догадок и выдвижению
ной степени обусловлена греческим происхождением
смелых неформальных доказательств, а это предпола-
нашей· цивилизации с его акцентом на дискурсивное
гает лингвистическую формулировку таких догадок и
мышление.
Доказательств и поэтому определение их статуса в
В любом случае наша интуиция времени может ме-