третьем мире. Язык, являясь вначале просто средством
няться с изменением наших теорий. Интуиции Ньюто-
коммуникативного описания долингвистическнх объек-
на, Канта и Лапласа отличаются от интуиции Эйн-
штейна, и роль времени в физике элементарных ча-
22 «Если мы хоти м довести эту мысль до своего логическог о за-
вершения, то мы должны сказать, что pimctum temporis не может
21 Я подробно рассмотрел эту проблему в моей лекции «Об ис-
Даже выступать в качестве бессмысленной точки, так как свет имеет
точниках знания и незнания», которая помещена в качестве введе-
."Частоту» ,[18, с. 297]. (Данный аргумент может быть подкреплен рас-
ния к [44].
суждениями, рассматривающими предельные условия.) 474
TOB, превращается в силу этого в существенную часть
тации. Это же означает, что язык является необходи-
научной деятельности, даже в математике, которая в
мым как способ аргументации, как способ критической
свою очередь становится частью третьего мира. В язы-
дискуссии [33].
ке тем самым существуют слои, или уровни (независи-
Сказанное поясняет, почему я считаю ошибочным
мо от того, формализованы они в иерархию метаязыков
субъективистскую эпистемологию Брауэра и философ-
или нет).
ское оправдание его интуиционистской математики. Су-
Если бы интуиционистская эпистемология была бы
ществует процесс взаимного обмена между конструи-
•права, то вопрос о математической компетентности не
рованием, критикой, «интуицией» и даже традицией, и
составлял бы проблемы. (И если бы кантовская теория
этот процесс не учитывался Брауэром.
была бы права, то непонятно, почему мы, а точнее, Однако я готов допустить, что даже в своем оши-
Платон и его школа, должны были так долго ждать
бочном взгляде на статус языка Брауэр частично прав.
Евклида23.) Однако эта проблема существует, так как
Хотя объективность всех наук, включая математику, даже весьма компетентные математики-интуициони-
неотделимо связана с их критикуемостыо и тем самым
сты могут не соглашаться между собой по некоторым
с их лингвистическим формулированием, Брауэр был
трудным вопросам24. Для нас нет необходимости иссле-
прав тогда, когда активно выступал против идеи рас-
довать, какая сторона в этом споре права. Достаточно
сматривать математику лишькак формальную языко-
указать, что раз интуиционистское конструирование
вую игру, или, другими словами, считать, что не суще-
подвергается критике, то рассматриваемая проблема
ствует таких вещей, как внелингвистические математи-
может быть решена лишь путем существенного исполь-
ческие объекты, то есть мысли (или, более точно, с
зования аргументативной функции языка.Конечно, кри-
моей точки зрения, содержание мышления). Он настаи-
тическое использование языка, по существу, не предпи-
вал на том, что беседа на математические темы являет-
сывает нам использовать аргументы, запрещенные ин-
ся беседой обэтих объектах, и в этом смысле матема-
туиционистской математикой (хотя и здесь существует
тический язык выступает вторичным образованием по
проблема, как будет показано ниже). Моя точка зре-
отношению к этим объектам. Однако это вовсе не озна-
ния в данный момент заключается просто в следую-
чает, что мы можем конструировать математику без
щем: раз допустимость предложенного интуиционизмом
языка: не может быть никакого конструирования без
математического конструирования может быть подверг-
постоянного критического контроля и никакой критики
нута сомнению, и, конечно, оно действительно подвер-
без выражения наших конструктов в лингвистической
гается сомнению, то язык выступает более чем просто
форме и обращения с ними как с объектами третьего
средством коммуникации, без которого можно в прин-
мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистиче-
ципе обойтись: он является необходимым средством
ских форм, он возникает вместе с аргументативной
критического обсуждения, дискуссии. Соответственно
функцией языка, то есть является побочным продуктом
этому он не представляет собой только интуиционист-
языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции
ской конструкции, «которая объективна в том смысле, делаются проблематичными, систематизированными и
что она не связана с тем субъектом, который ее со-
аксиоматизированными, язык может сделаться также
здает» [34, с. 173]. На самом деле объективность даже
проблематичным и почему формализация может сде-
интуиционистской математики опирается, как это про-
латься отраслью математического конструирования.
исходит во всех науках, на критикуемость ее аргумен-
Именно это, я думаю, имеет в виду Майхилл, когда он
говорит, что «наши формализации исправляют наши ин-
туиции, в то время как наши интуиции формируют на-
23 См. соответствующее замечание о кантовском априористском
ши формализации»[37, с. 175] (курсив мой). То, что
взгляде на ньютоновскую физику в [44, гл. 2, абзац, к которому Д°"
делает это высказывание заслуживающим цитирования, бавлено прим. 63].
состоит в том, что оно, будучи сделанным в связи с
24 См. комментарии С. К. Клини в [32, с. 239—253] о Брауэре
[9, с. 357—358].
брауэровской концепцией интуиционистского доказа-
476
477
тельства, в действительности помогает исправлению
.-.лее непосредственными интуитивными конструкциями
брауэровской эпистемологии.
„-(взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот
(2') Онтологические проблемы.То, что объекты ма-
:/--идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, тематики обязаны своим существованием отчасти язы-
как предполагалось, достигает интуитивное конструиро-
ку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал
вание). Можно процитировать начало того отрывка из
в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathe-
-его работы, который не только стимулировал меня на
matik liegt zugrunde») на бесконечной последователь-
дальнейшие исследования, по и поддержал мои'размыш-
ности знаков или символов («Zeichen») или на конечной
ления: «Понятие интуитивнойясности в математике са-
последовательности символов...» [6, с. 244]. Это не
мо не является интуитивно ясным. Можно даже по-
следует понимать как допущение приоритета языка: строить нисходящую шкалу степеней очевидности. Выс-
без сомнения, ключевым термином здесь является «по-
шую степень имеют такие утверждения, как 2+2 = 4.
следовательность», а понятие последовательности осно-
Однако 1002+2= 1004 имеет более низкую степень; мы
вывается на интуиции времени и на конструировании, доказываем это утверждение не фактическим подсче-
опирающемся на эту интуицию. Однако это утвержде-
том, а с помощью рассуждения, показывающего, что
ние показывает, что Брауэр знал о том, что для осуще-
вообще (п+2) +2 = п+4... [Высказывания подобно это-
ствления конструирования требуются знаки и символы.
му] уже имеют характер импликации: «Если построе-
Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мыш-
но натуральное число п,то можно осуществить кон-
ление (то есть последовательность аргументов, выра-
струкцию, выражаемую равенством (n-f-2)+2 = n-f-4»
женных лингвистически) имеет огромное влияние на
[26, с. 225]. «Степени очевидности» Рейтинга имеют в
наше осознание времени и на развитие нашей интуиции