данный момент для нас второстепенный интерес, а бо-
последовательного расположения. Это никоим образом
лее важным выступает прежде всего исключительно
не расходится с конструктивизмом Брауэра,· но дей-
простой и ясный анализ Рейтингом необходимого взаи-
ствительно расходится с его субъективизмом и мента-
модействия между интуитивным конструированием и
лизмом, ибо объекты математики могут теперь рассмат-
его лингвистическим выражением, которое неизбежно
риваться как граждане объективного третьего мира: приводит нас к дискурсивному и тем самым к логиче-
хотя содержание мышления первоначально построено
скому рассуждению. Данный момент подчеркивается
нами (то есть третий мир возникает как продукт нашей
Рейтингом, когда он продолжает: «Эта степень может
деятельности), такое содержание обусловливает своп
быть формализована в исчислении со свободно пере-
собственные непреднамеренные следствия. Натураль-
менными» [26, с. 225].
ный ряд чисел, которые мы конструируем, создает про-
Наконец следует сказать о взаимоотношении Брауэ-
стые числа, которые мы открываем,а они в свою оче-
ра с математическим платонизмом. Автономия третьего
редь создают проблемы, о которых мы и не мечтали.
мира несомненна, и поскольку это так, то брауэровское
Вот именно так становится возможным математическое
равенство «esse = construi» должно быть отброшено, по
открытие.Подчеркнем, что самыми важными математи-
крайней мере в отношении проблем. Это, возможно, за-
ческими объектами, которые мы открываем, самым!!
ставит нас заново пересмотреть проблему логики ин-
благодатными гражданами третьего мира являются
туиционизма: не отбрасывая интуиционистских стандар-
именно проблемыи новые виды критических рассуж-
тов доказательства,следует подчеркнуть, что для кри-
дений.Таким образом, возникает некоторый новый вид
тического рационального обсуждения важно четко раз-
математического существования — проблемы, новый вид
личать между тезисом и очевидными свидетельствами
интуиции — интуиция, которая позволяет нам видеть
в его пользу. Однако это различие разрушается интуи-
проблемы и понимать проблемы до их решения (ср.
ционистской логикой, которая возникает из смешения
браузровскую центральную проблему континуума).
свидетельства (или доказательства) и утверждения, ко-
Рейтингом был прекрасно описан способ, которым
торое должно быть доказано(см. выше, разд. 5.4).
язык и дискурсивное мышление взаимодействуют с бо-
(3') Методологические проблемы.Первоначальным
478
479
мотивом интуиционистской математики Браузра была
пренебрежение третьим миром, следовательно, распро-
потребность в надежности, уверенности — поиски более
странена субъективистская эпистемология. В различ-
верных, надежных методов доказательства, фактически
ных конкретных науках часто можно обнаружить субъ-
непогрешимых методов. В этом случае, если вы хотите
ективистские тенденции, даже там, где не существует
более надежных доказательств, вы должны более стро-
связи с брауэровской математикой. Я рассмотрю неко-
го подходить к использованию демонстративной аргу-
торые такие тенденции в логике, теории вероятностей и
ментации: вы должны применять более слабые сред-
физической науке,
ства, более слабые предположения. Брауэр ограничи-
вается использованием логических средств, которые
7.1. Эпистемическая логика
были слабее, чем средства классической логики25. До-
казать теорему более слабыми средствами является
Эпистемическая логика оперирует такими формула-
(и всегда являлось) в значительной степени интересной
ми, как «а знает р» или «а знает, что р», «аверит в р»
задачей и одним из великих источников математических
или «аверит, что р». Обычно эти формулы символиче-
проблем. Этим и обусловлены интересы интуиционист-
ски записываются так:
ской методологии.
«Кар»или «Вар»,
Однако я полагаю, что сказанное справедливо лишь
где Ки Всоответственно означают отношения позна-
для доказательств. Для критики и опровержения мы не
ния и веры, α — познающего или верящего субъекта, нуждаемся в слабой логике. В то время как органон
р— суждение, которое известно или в которое верят, доказательства может быть достаточно слабым, орга-
а также соответствующее ему положение дел.
нон критики должен быть очень сильным. В критике
Мой первый тезис, выдвинутый в разд. 1, состоит в
мы не должны быть ограничены тем, что то или иное
том, что все это не имеет ничего общего с научным
доказательство невозможно, — мы ведь не утверждаем
познанием и знанием, а именно нельзя сказать, что
непогрешимость пашей критики и часто бываем удов-
ученый (я буду обозначать его S) или познает, или
летворены, если можем показать, что некоторая теория
верит во что-то. Что же он в действительности делает?
имеет контринтуитивные следствия. В органоне критики
Я приведу самый краткий список вариантов: слабость и экономия не являются добродетелями, ибо
«S пытается понять р»,
добродетель некоторой теории состоит в том, что она
«5 пытается думать об альтернативах р», может противостоять сильной критике. (Поэтому, по-
«S пытается думать о критических оценках р»,видимому, в критических дебатах, так сказать в мета-
«Sпредлагает экспериментальную проверку р», дебатах о жизненности интуиционистского конструиро-
«Sпытается аксиоматизировать р», вания, возможно допускать использование классиче-
«S пытается вывести риз g»,
ской логики.)
«Sпытается показать, что ρневыводимо из q»,
«Sпредлагает новую проблему х,возникающую
7. Субъективизм в логике, теории вероятностей
из р»,
и физике
«S предлагает новое решение проблемы х,возни-
кающей из р»,
Учитывая то, что говорилось в разд. 5, особенно об
«Sкритикует свое последнее решение проблемы х».
эмпиризме, становится вполне понятным, почему в со-
Данный список мог бы быть значительно расширен.
временном мышлении все еще широко распространено
По своему характеру он довольно далеко отстоит от
«S знает р» или «S верит в р» или даже «S ошибочно
25 Эти замечани я справедливы лишь для логикиинтуиционизма, верит в p», «S сомневается в р». Фактически очень важ-
которая является частью классической логики, в то время как ин-
но здесь подчеркнуть, что мы можем сомневаться без
туиционистская математика не является частью классической матема-
тики (см., в частности, замечания Клини о «брауэровском принципе»
Критики и критиковать без сомнения. (То, что мы можем
в [32, с. 100]).
Делать так, было понято Пуанкаре в работе «Наука
480
31—913
481
и гипотеза», которая в этом вопросе может быть сопо-
физической энтропии. Это интерпретируется как некое
ставлена с произведением Рассела «Наше знание о
внешнем мире».)
доказательство того, что физическая энтропия пред-