наблюдений с такой простой кривой можно рассматривать как в высшей степени невероятное событие.Однако вместо
того, чтобы довести до конца это интуитивное понимание (которое, я думаю, помогло бы Вейлю заметить, что более про-
стая теория является в то же время лучше проверяемой теорией), Вейль отвергаетего как не выдерживающее рациональ-
ной критики. Он указывает, что то же самое можно было бы сказать и о любой другой даннойкривой, сколь бы сложной она
ни была. (Этот аргумент является правильным, однако он не применим к нашему случаю, поскольку мы рассматриваем не
верифицирующие примеры, а потенциальные фальсификаторыи их степени неэлементарности.) Затем Вейль переходит к
обсуждению понятия малочисленности параметров в качестве критерия простоты, не связывая это понятие тем или иным
образом ни с только что отброшенным интуитивным
130
Ранее было показано, что теории меньшей размерности легче поддаются фальсификации, чем тео-
рии большей размерности. Например, некоторый закон, имеющий форму функции первой степени, легче поддается фальсификации, чем закон, выражаемый посредством функции второй степени. Од-
нако в ряду законов, математической формой которых являются алгебраические функции, второй за-
кон все же принадлежит к классу хорошо фальсифицируемых законов. Это согласуется с тем, что го-
ворит о простоте Шлик. «Мы, — пишет он, — определенно расположены рассматривать функцию
первой степени как более простую по сравнению с функцией второй степени, хотя последняя также, без сомнения, представляет собой очень хороший закон... 'J1
Как мы уже видели, степень универсальности и точности некоторой теории возрастает вместе со
степенью ее фальсифицируемости. Таким образом, мы, по-видимому, можем отождествить степень
строгоститеории, то есть степень, так сказать, жесткости тех ограничений, которые теория при по-
мощи закона налагает на природу, с ее степенью фальсифицируемости. Отсюда следует, что понятие
степени фальсифицируемости выполняет те самые функции, которые, по мнению Шлика и Фейгля, должно выполнять понятие простоты. Я могу добавить, что различение, которое Шлик хотел прове-
сти между законом и случаем, также может быть уточнено с помощью идеи степеней фальсифициру-
емости. Оказывается, что вероятностные высказывания о последовательностях со случайными харак-
теристиками, во-первых, имеют бесконечную размерность (см. раздел 65), во-вторых, являются
сложными, а не простыми (см. раздел 58 и конец раздела 59) и, в-третьих, фальсифицируемы только
при принятии специальных мер предосторожности (см. раздел 68).
Сравнение степеней проверяемости подробно обсуждалось ранее, в разделах 31-40. Приводимые
там примеры и отдельные соображения легко перенести на проблему простоты. Это верно, в частно-
сти, для понятия степени универсальности некоторой теории. Мы знаем, что более универсальное
высказывание может заменить много менее универсальных высказываний, и по этой причине его
можно назвать «более
воззрением на простоту, ни с каким-либо другим понятием (типа проверяемости или содержания), которое помогло бы
объяснить наше эпистемологическое предпочтение более простых теорий.
Предпринятая Вейлем попытка охарактеризовать простоту некоторой кривой при помощи малочисленности ее парамет-
ров, как мы отметили, была предвосхищена в 1921 году Джеффрисом и Ринчем {Jeffries H., Wrinch D.// Philosophical Magazine, 1921, vol. 42, p. 369 и след.). Однако если Вейль просто не смог заметить то, что теперь (согласно Нилу) «легко заме-
тить», то Джеффрис действительно придерживался и до сих пор придерживается воззрения, совершенно противоположного
моей теории простоты: он приписывает более простому закону большую априорную вероятность, а не большую априорную
невероятность, как это делаю я. (Таким образом, сопоставление взглядов Джеффриса и Нила может служить иллюстрацией
к замечанию Шопенгауэра о том, что решение проблемы часто сначала выглядит как парадокс, а потом как трюизм.) Я хо-
тел бы добавить здесь, что в последнее время я значительно продвинулся в разработке моих взглядов на понятие простоты, при этом я старался усвоить, и, надеюсь, небезуспешно, кое-что из книги Нила (ср. Приложение *Х и раздел *15 моего Postscript).
1 Schlick M.Die Kausalitдt in der gegenwдrtigen Physik // Naturwissenschaften, 1931, Bd. 19, H. 7, S. 148 (см. примечание 1 к
предшествующему разделу).
131
простым». Можно также сказать, что понятие размерности теории придает точность идее Вейля об
использовании числа параметров для определения понятия простоты*2. Несомненно также, что наше
различение материальной и формальной редукций размерности теории (см. раздел 40) может подска-
зать ответ на некоторые возможные возражения против теории Вейля, например на возражение, со-
32
гласно которому множество эллипсов, для которых даны соотношения их осей и численный эксцен-
триситет, имеет в точности столько же параметров, как и множество окружностей, хотя второе мно-
жество, очевидно, является более «простым».
Самое же важное состоит в том, что наша теория объясняет, почему простота ценится столь вы-
соко.Чтобы понять это, нам не нужно принимать ни «принцип экономии мышления», ни какой-либо
другой принцип такого же рода. Когда нашей целью является знание, простые высказывания следует
ценить выше менее простых потому, что они сообщают нам больше, потому, что больше их эмпи-
рическое содержание и потому, что они лучше проверяемы.
44. Геометрический образ и функциональная форма
Наша концепция простоты помогает нам разрешить ряд противоречий, которые до сих пор стави-
ли под сомнение полезность применения понятия простоты.
Немногие, я думаю, считают геометрический образ,скажем логарифмической кривой, очень про-
стым. Однако закон,который может быть представлен с помощью логарифмической функции, обыч-
но считается простым. Аналогичным образом функция синуса,по общему мнению, является простой, хотя геометрический образ синусоиды,возможно, не является столь простым.
Трудности такого рода можно устранить, если мы вспомним о связи между числом параметров и
степенью фальсифицируемости и проведем
*2Как упоминалось в примечании 7 к разделу 42 и в примечании *1 к этому разделу, именно Ха-
ролд Джеффрис и Дороти Ринч впервые предложили измерять простоту некоторой функции мало-
численностью ее свободно заменимых параметров. Однако они вместе с тем предлагали приписывать
более простой гипотезе большую априорную вероятность. Таким образом, их взгляды могут быть
выражены следующей схемой:
простота = малочисленность параметров= высокая априорная вероятность.
Получилось так, что я исследовал эту проблему совсем с другой стороны. Меня интересовала оценка степеней проверя-
емости, и я вначале обнаружил, что проверяемость можно измерить при помощи «логической невероятности» (которая в
точности соответствует используемому Джеффрисом понятию «априорной» невероятности). Затем я обнаружил, что прове-
ряемость и, следовательно, априорная невероятность могут быть отождествлены с малочисленностью параметров, и только
в конечном итоге я отождествил высокую степень проверяемости с высокой степенью простоты. Таким образом, мои взгля-
ды могут быть выражены такой схемой: