проверяемость=высокая априорная невероятность= малочисленность параметров = простота.
Заметим, что две эти схемы частично совпадают. Однако в решающем пункте, когда речь заходит о вероятности и неве-
роятности, они находятся в прямом противоречии друг с другом. См. также Приложение *VIII.
132
различение между формальной и материальной редукциями размерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли
инвариантности по отношению к преобразованиям систем координат.) Когда речь идет о геометрической форме или
об образенекоторой кривой, мы требуем от нее инвариантности по отношению ко всем преобразова-
ниям, принадлежащим к группе переносов. Мы можем также потребовать при этом инвариантности
по отношению к преобразованиям подобия, так как обычно предполагается, что геометрическая фор-
ма или геометрический образ не связаны с определенным местомна плоскости. Следовательно, если
мы рассматриваем форму однопараметрической логарифмической кривой у= logax,не связывая ее с
определенным местом на плоскости, то такая кривая будет зависеть от пятипараметров (если допу-
стить преобразования подобия). Таким образом, она ни в коем случае не является весьма простой
кривой. Если же некоторая логарифмическая кривая представляет теорию или закон,то указанные
преобразования координат не имеют значения. В таких случаях использование вращений, параллель-
ных переносов и преобразований подобия не имеет смысла, так как логарифмическая кривая здесь, как правило, является графическим представлением, в котором оси координат не взаимозаменяемы (к
примеру, ось хможет представлять атмосферное давление, а ось у— высоту над уровнем моря). По
этой же причине преобразования подобия также не играют здесь никакой роли. Аналогичные сооб-
ражения применимы и к колебаниям синусоидывокруг некоторой конкретной оси, к примеру вокруг
оси времени, и ко многим другим случаям.
45. Простота евклидовой геометрии
Одним из вопросов, занимающих важное место в большинстве дискуссий о теории относительно-
сти, был вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом никто даже не пытался усомниться в
том, что евклидова геометрия как таковая проще, чем любая неевклидова геометрия с данной посто-
янной кривизной, не говоря уже о неевклидовых геометриях с переменной кривизной.
На первый взгляд кажется, что используемое при таком сравнении понятие простоты не имеет по-
чти ничего общего со степенями фальсифицируемости. Однако если высказывания о простоте раз-
личных геометрий сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обнаружится, что два интересу-
ющих нас понятия — простота и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.
Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам помощь в проверке следующей гипотезы: «В
33
нашем мире необходимо использовать некоторую метрическую геометрию с таким-то и таким-то ра-
диусом кривизны». Эта гипотеза допускает проверку только в том случае, если мы отождествим не-
которые геометрические сущности с определенными физическими объектами, например прямые ли-
нии — со световыми лучами, точки — с пересечением нитей и т.п. Если принять такое отождествле-
ние (то есть ввести некоторое определение, устанавливающее конкретное соотношение, или, возмож-
но, некоторое остенсивное определение — см. раздел 17), то можно показать, что гипотеза о справед-
ливости евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируема в большей
133
степени, чем любая другая конкурирующая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой
неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы измерим сумму углов светового треугольника, то
любое значительное отклонение от 180 градусов фальсифицирует евклидову гипотезу. В то же время
гипотеза о справедливости геометрии Больяи — Лобачевского с данной кривизной будет совместима
с любым конкретным измерением, результат которого не превосходит 180 градусов. К тому же для
фальсификации второй гипотезы необходимо измерить не только сумму углов, но также и (абсолют-
ный) размер треугольника, а это означает, что в придачу к углам потребовалось бы ввести новую
единицу измерения, такую, например, как единицу площади. Таким образом, мы видим, что для
фальсификации второй гипотезы требуется большее число измерений, что данная гипотеза совмести-
ма с большими отклонениями в результатах измерений и что, следовательно, эту гипотезу труднее
фальсифицировать. Иначе говоря, вторая гипотеза фальсифицируема в меньшей степени. То же самое
можно выразить, сказав, что евклидова геометрия является единственной метрической геометрией с
определенной кривизной, в которой возможны преобразования подобия. Как следствие этого, фигуры
евклидовой геометрии могут быть инвариантными по отношению к большему числу преобразований, то есть они могут иметь меньшую размерность и поэтому быть проще.
46. Конвенционализм и понятие простоты
То, что конвенционалист называет «простотой», не совпадает с моим понятием простоты. Никакая
теория однозначно не детерминируется опытом — вот центральная идея и исходный путь конвенци-
оналиста, и я разделяю эту точку зрения. Исходя из этого, конвенционалист убежден в том, что он
должен выбрать «простейшую теорию». Однако поскольку теории для конвенционалиста не являют-
ся фальсифицируемыми системами, а представляют собой конвенциональные соглашения, то под
«простотой» им, безусловно, подразумевается нечто отличное от степени фальсифицируемости.
Конвенционалистское понятие простоты в действительности оказывается частично эстетическим, частично практическим. Поэтому, когда Шлик говорит о том, «что понятие простоты, очевидно, можно определить только при помощи конвенции, которая всегда оказывается произвольной»1, то это
его замечание (ср. раздел 42) полностью применимо к конвенционалистскому понятию простоты, но
не затрагивает моего понятия простоты. Странно, что сами конвенционалисты не заметили конвен-
ционального характера самого фундаментального для них понятия — понятия простоты. Да они и не
могли заметить его, так как в противном случае им пришлось бы признать то, что никакая апелляция
к простоте не может спасти от произвольности того, кто однажды вступил на путь принятия произ-
вольных конвенций.
С моей точки зрения, некоторую систему следует считать в высшей степени сложной,если в соот-
ветствии с практикой конвенционалистов
1 Schlick М.Die Kausalitдt in der gegenwдrtigen Physik // Naturwissenschaften, 1931, Bd. 19, H. 7, S. 148.
134
мы, безусловно, принимаем ее в качестве раз и навсегда установленной системы, которую, как
только она оказывается в опасности, следует спасать при помощи введения дополнительных (auxilia-ry) гипотез. Дело в том, что степень фальсифицируемости охраняемой таким образом системы равна
нулю.Итак, наше понятие простоты вновь привело нас к методологическим правилам, сформулиро-
ванным в разделе 20, и в частности к правилу или принципу, который удерживает нас от снисходи-
тельного отношения к введению гипотез ad hocи дополнительных гипотез, то есть к принципу эко-
номии используемых нами гипотез.
Добавление 1972 года
В этой главе я попытался показать, насколько далеко можно провести отождествление простоты