В качестве пособия для читателя я целиком изложу ход рассуждения для второго и третьего столбцов первого из примеров, решённых выше.
Наш делитель есть число 6997 (где h = 7, k = 3). Здесь предполагается, что в графу «Частное» уже внесено 281. Делимое для этих двух столбцов есть 1972 | 103; частное 281, а остаток 5946. «Критерий» есть [выражение] hQtn + R (то есть 7 × 281000 + 5946), и начало хода рассуждения таково. На отдельной полоске бумаги записываем последние три цифры R, а именно 946, и переносим 5 в следующий разряд, прибавляя её к 7 × 281 следующим образом. «5 и 7 будет 12». Вносим 2, 1 в уме. «1 и 56 будет 57». Вносим 7, 5 в уме. «5 и 14 будет 19». Вносим. Вычислив «Критерий», проверяем, равняется ли ему [выражение] N + kQ. Вычисляем это последнее, сравнивая его по мере продвижения с нашим «Критерием» цифра за цифрой следующим образом. «3 и 3 будет 6». Сравниваем с «Критерием». «0 и 24 будет 24». Сравниваем 4, 2 в уме. «3 и 6 будет 9». Сравниваем. «1972 и 0 будет 1972». Сравниваем. «Критерий» удовлетворён.
Для делителей вида tn ± k нет нужды записывать «Критерий»: составляющие его числа уже находятся в решении и могут быть использованы на своих местах.
§1. Делитель вида (tn ± 1)
Искомые способы были рассмотрены в §1 предыдущей главы как процедуры, предваряющие нахождение частного.
В случае делителей прочих обсуждаемых здесь видов способы, предназначенные для нахождения частного и остатка, пригодны, разумеется, и для нахождения одного лишь остатка; нам нужно будет рассмотреть здесь только те случаи, когда, коль скоро частное нам не требуется, эти способы поддаются сокращению.
§2. Делитель вида (ht ± 1)
А именно: те способы, что были рассмотрены в §1 предыдущей главы, могут быть здесь сокращены удалением всего письменного решения под двойной чертой.
Для примера такого сокращённого способа возьмём число 27910385642558361 в качестве делимого и найдём его «остаток-29» и «остаток-71».
В первом случае по решении установится вид:
ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 3 и прибавления частного, 9, к числу, образованному добавлением в качестве префикса остатка, 0, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «9 и 9 будет 18». Затем делим это 18 на 3 и прибавляем частное, 6, к числу, образованному добавлением в качестве префикса остатка, 0, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «6 и 1 будет 7». Затем говорим: «2 и 10 будет 12, 4 и 3 будет 7, 2 и 18 будет 20, 6 и 25 будет 31». Тут мы «отбрасываем» 29 и говорим: «что даёт 2». Объединяем её со следующей цифрой, 6, продолжая так: «8 и 24 будет 32, что даёт 3; 1 и 2 будет 3, 1 и 5 будет 6, 2 и 5 будет 7, 2 и 18 будет 20, 6 и 23 будет 29, что даёт 0; 2 и 1 будет 3, 1 и 2 будет 2».
Во втором случае по решении установится вид:
ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 7 и вычитания частного, 3, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 6, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «3 из 69 будет 66». Затем делим это 66 на 7 и вычитаем частное, 9, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 3, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «9 из 31 будет 22». Затем говорим: «3 из 10 будет 7, 1 из 3 будет 2, 0 из 28 будет 28, 4 из 5 будет 1, 0 из 16 будет 16, 2 из 24 будет 22, 3 из 15 будет 12, 1 из 55 будет 54, 7 из 58 будет 51, 7 из 23 будет 16, 2 из 26 будет 24, 3 из 31 будет 28, 4 из 1 [вычесть] нельзя, но (тут мы вбрасываем добавочный делитель) 4 из 72 будет 68».