Рагин П.В.
Масса мюона из первых принципов 2
Перспектива решения одной из фундаментальных проблем физики
Введение
В первой части брошюры было получено первое, классическое приближение к массе мюона, в виде 206,045(45) масс электрона, против экспериментальной 206,7682830 (+/- 0,0000046) масс. В данной, второй части рассматривается второй шаг, второе приближение к массе мюона, или неклассический подход (т.к. используем идеи квантовой механики и теории относительности).
Введём силы отталкивания: На предыдущем этапе, шары-узлы решётки только притягивались, и падая друг на друга, вошли в соприкосновение. В случае несжимаемых, классических, абсолютно твёрдых "атомов" — этим всё бы и заканчивалось, но из новой (неклассической) физики — известно, что твёрдость видимых объектов вокруг — "иллюзия", создающаяся силами отталкивания, и возникающим давлением, растущим при попытке сжать объект, т.е. сблизить точки сильнее. Модель будет ближе к реальности, если выбитые узлы — станут сжимаемы, как и вся конструкция из 13 узлов. (Точнее, она должна сжиматься самопроизвольно, т.е. коллапсировать до достижения равновесия сил притяжения и отталкивания). А значит, масса мюона, полученная на первом этапе — это ещё не вся масса-энергия (например, в виде полезной энергии, которую теоретически можно извлечь при образовании данной системы или наоборот, затрать на её образование (в случае физического вакуума — на рождение мюона)). Коллапс должен происходить до того диаметра, при котором скорость выделения энергии (за счёт дальнейшего сближения узлов), не сравнится со скоростью её поглощения (за счёт перевода в давление, отталкивание, препятствующее дальнейшему, неограниченному сжатию).
Согласно повседневному опыту (проводя аналогию с мячами) и упрощая, разумно предположить, что до соприкосновения, шары только притягиваются, и ещё не отталкиваются. Силу отталкивания положим простейшей из возможных — обратно пропорциональной расстоянию между точками (растущей от нуля до бесконечности, при уменьшении расстояния от 1 до 0). Первая степень (а не вторая), может быть обоснована соотношением неопределённостей Гейзенберга: неопределённость импульса, умноженная на неопределённость координат — должна быть больше или равна константе; в модели её место берёт на себя 1. Начальное состояние до сжатия описывается т.о.: 1 (импульс, p) * 1 (расстояние, l) = 1. Если расстояние падает в четыре раза — до 0,25, импульс вырастает в 4 раза, согласно соотношению неопределённостей (0,25 (l) * 4 (p) = 1). Вычитая начальный импульс: 4 - 1 = 3, получаем силу отталкивания, обусловленную ростом импульса, возрастающую от 0 до 3 единиц при сближении узлов от расстояния 1 до 0,25. В единицах импульса, поглощено 3 единицы энергии. А узлы при этом обрели сплюснутую форму (вдоль направления движения), чтобы обоим уместиться в сжавшемся рассматриваемом объёме (сокращение является Лоренцевым сокращением в специальной теории относительности, что соответствует определённому импульсу).
В общем, получилась линейная зависимость (в отличие от нелинейных сил притяжения (квадратичной нелинейности)); впрочем, уже на следующем этапе, — при переходе от точек к полному объёму шаров, из-за сжатия одновременно в трёх направлениях, может быть обоснована 3-я степень — кубическая зависимость для сил отталкивания).
Ни импульс, ни расстояние, на текущем этапе построения модели не могут принимать нулевое значение, что препятствует появлению бесконечностей в вычислениях. Можно представить, что уже при расстоянии 1, импульс частицы (точки) равен 1 — и противодействует сжатию. В общем, пока что, в модели, два шара, если на них не давят окружающие — замрут на расстоянии 1 между центрами. При этом, в модели предполагается, что с расстояния менее 1 — в силу отталкивания переходит само притяжение, — которые т.о. не являются разными полями (силами), а сторонами одного и того же взаимодействия (поля), и имеют одинаковую константу взаимодействия; подобным образом рассматриваются гравитационное поле на сверхмалых расстояниях, и сильное ядерное взаимодействие (переход притяжения нуклонов в отталкивание).
Случай кубооктаэдра
Рассчитаем сперва положительную энергию всех связей в кубооктаэдре (единице плотноупакованной, кубической гранецентрированной решётки) в единицах энергии-массы электрона, при сжатии конструкции в последовательности уменьшающихся r (где r — радиус описанной сферы и самый малый тип расстояния между узлами (тип 1)). Расчёт ведётся по формулам из первой части брошюры (при этом помним, что если расстояние между узлами становится меньше единицы, сила притяжения уже дальше не растёт, оставаясь на уровне таком же как в случае расстояния равного 1):
Сперва найдём особое значение r — при котором длина связей 2 типа (т.е. связей длиной sqrt(r^2 + r^2)) становится = 1:
sqrt(r^2 + r^2) = 1
r^2 = 0,5
r = sqrt(0,5) = 0,70710678118654752440084436210485;
Энергия связей 1 типа: E = 4 * 36 * 1/(r^2), где r < 1, поэтому округляется до 1 = 144;
Энергия связей 2 типа: E = 4 * 12 * 1/(sqrt(r^2 + r^2))^2 = 48;
Энергия связей 3 типа: E = 4 * 6 * 1/((2*r)^2) = 12;
Энергия связей 4 типа: E = 4 * 24 * 1/(sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2))^2 = 64.
Итого, положительная энергия: E = 144 + 48 + 12 + 64 = 268.
Отрицательная энергия:
E = -1 * 4 * 36 * (1/sqrt(0,5) - 1) = -59,646752981725687027443176286196.
Сумма положительной и отрицательной энергий: 208,3532470182743129725568237138.
r = 0,95:
Энергия связей 1 типа: E = 4 * 36 * 1/(r^2), где r < 1, поэтому округляется до 1 = 144;
Энергия связей 2 типа: E = 4 * 12 * 1/(sqrt(r^2 + r^2))^2 = 26,592797783933518005540166204986;
Энергия связей 3 типа: E = 4 * 6 * 1/((2*r)^2) = 6,6481994459833795013850415512465;
Энергия связей 4 типа: E = 4 * 24 * 1/(sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2))^2 = 35,457063711911357340720221606648.
Итого, положительная энергия: E = 212,69806094182825484764542936288.
Отрицательная энергия:
E = -1 * 4 * 36 * (1/0,95 - 1) = -7,5789473684210526315789473684211.
Сумма положительной и отрицательной энергий: 205,11911357340720221606648199446.
Уже из этих двух проб можно обоснованно предположить, что энергия-масса при сжатии кубооктаэдра сперва падает, а затем с приближением к r = sqrt(0,5) растёт и приближается к максимуму, равному 208,3532470182743129725568237138, за которым снова начинает снижаться. Подтвердим это предположение расчётом для r немного менее sqrt(0,5), = 0,707:
Энергия связей 1 типа: E = 4 * 36 * 1/(r^2), где r < 1, поэтому округляется до 1 = 144;
Энергия связей 2 типа: E = 4 * 12 * 1/(sqrt(r^2 + r^2))^2, где sqrt(r^2 + r^2) < 1, поэтому округляется до 1 = 48;
Энергия связей 3 типа: E = 4 * 6 * 1/((2*r)^2) = 12,003625094778623144189545242663;
Энергия связей 4 типа: E = 4 * 24 * 1/(sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2))^2 = 64,019333838819323435677574627538.
Итого, положительная энергия: E = 268,0229589335979465798671198702.
Отрицательная энергия:
E = -(4 * 36 * (1/0,707 - 1) + 4 * 12 * (1/sqrt(r^2 + r^2) - 1)) = -59,684760250288940836266661076425.
Сумма положительной и отрицательной энергий: 208,33819868330900574360045879378.
Итого, подтверждено, что масса 208,3532470182743129725568237138 представляет максимум. Но единственный ли это максимум, т.е. глобальный ли он? Ещё один максимум можно предполагать, когда r становится таким, что связи 4 типа становятся равными 1. Проверить, не находится ли глобальный максимум массы там, можно, сперва выяснив, какому r соответствует расстояние 4 типа sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2) = 1. Задача решена при помощи онлайн-калькулятора квадратных уравнений [1]. r = 1/sqrt(3).
Энергия связей 1 типа: E = 4 * 36 * 1/(r^2), где r < 1, поэтому округляется до 1 = 144;
Энергия связей 2 типа: E = 4 * 12 * 1/(sqrt(r^2 + r^2))^2, где sqrt(r^2 + r^2) < 1, поэтому округляется до 1 = 48;
Энергия связей 3 типа: E = 4 * 6 * 1/((2*r)^2) = 18;