Бертран Рассел пошел дальше и заявил, что математика выводится из логики. Однако этот факт вовсе не означает, что логика — суть математики. Мы каждый день принимаем решения, которые можно обосновать при помощи логики, но не рассматриваем их как логические задачи. Мы принимаем решения с учетом множества факторов, и логика — лишь один из них. Мы очень часто опираемся на опыт, интуицию, аналогии, советы и бесчисленное множество других доводов, которые по истечении времени можно рационально обосновать. Но мы не всегда рассуждаем исключительно рационально. Так и математическая мысль и сама математика не сводятся к одной лишь логике.
Шульба-Сутры — единственный индийский математический текст ведического периода, то есть VIII–II веков до н. э. В нем приведены четкие методы построения алтарей квадратной или круглой формы для дома. Алтари, находившиеся в общественных местах, должны были иметь более сложную форму и содержать треугольники, ромбоиды и трапецоиды. В одном из таких алтарей элементарные многоугольники образовывали фигуру в форме птицы — возможно, это означало, что после жертвоприношения птица поднимет в небеса просьбу просившего.
Одна из задач заключалась в построении алтаря площадью в два раза больше данного. Эту простую геометрическую задачу можно решить на глаз и в численном виде. Второй способ предпочтительнее, если мы хотим заранее определить, сколько материала потребуется на изготовление алтаря. Первым способом решение находится мгновенно: достаточно построить квадрат на диагонали исходного. Полученный квадрат будет содержать ровно четыре половины исходного квадрата.
Численное решение основано на применении теоремы Пифагора или определении числа, которое при возведении в квадрат дает 2. В самом деле, какова длина стороны квадрата х, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной с? Посмотрим:
Шульба-Сутры также содержат описание алгоритмического метода вычисления квадратного корня из 2 путем последовательных приближений. Согласно этому методу, нужно добавить к длине стороны ее треть, затем — четвертую часть трети и, наконец, вычесть 30-ю часть четвертой части трети стороны. Иными словами, обозначив через с длину стороны квадрата, который нужно удвоить, имеем:
Выполнив указанные операции, вы увидите, что полученный результат — прекрасное приближение квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой:
Позднее, в XV веке, к этому числу были добавлены еще два члена, и в результате оно стало равняться корню из 2 с точностью до семи знаков:
Откуда взялись эти цифры и число 34, в Шульба-Сутрах ничего не сказано. В них, как и во многих других математических текстах, зафиксированы лишь ответы, а не пути к решениям. Существует гипотеза, согласно которой индийский алгоритм вычисления корня из 2 основан на методе, известном еще вавилонянам. Мы уже показали, что им удалось с удивительной точностью вычислить длину диагонали квадрата, но нам ничего не известно о том, какой метод они при этом использовали и был он алгебраическим или геометрическим.