* * *
если мы выполним его четыре раза, то любая фигура вернется в исходное положение.
Если мы обозначим его через I (тождественное преобразование), то четыре возможных поворота будут обозначаться так: G41, G42, G43 и G44 = I. Квадрат также остается неизменным при отражении (зеркальной симметрии) одного из следующих видов: (а) вертикальном; (Ь) горизонтальном; (с) относительно восходящей диагонали; (d) относительно нисходящей диагонали. Все эти виды симметрии имеют порядок, равный двум: если мы применим их дважды к одной и той же фигуре, то получим исходную фигуру. Обозначив через S указанные разновидности зеркальной симметрии, получим: SH, SF, SD1 и SD2. Композиция любого из этих преобразований с самим собой будет тождественным преобразованием I:
Sн°Sн = I, Sv°Sv = I, SD1°SD1 = I у SD2°Sd2 = I
Все подобные преобразования будут принадлежать группе восьмого порядка, и в этом — их сходство со структурой родственных отношений у варлпири. Два цикла четвертого порядка по материнской линии соответствуют поворотам четвертого порядка, четыре цикла второго порядка по отцовской линии — четырем видам зеркальной симметрии, также второго порядка.
Возможно, варлпири не знают, что их структура родственных связей соответствует объекту, который в западной математике называется группой изометрии восьмого порядка. Однако варлпири определили аналогичное понятие самостоятельно и выстраивают социальные, политические, религиозные и родственные отношения в соответствии с ним. Конечно, система отношений варлпири не является результатом практического применения западной математики. Аборигены использовали эту изометрическую систему задолго до того, как на западе были описаны подобные отношения.
Азартные игры существуют во всех культурах и представляют собой один из видов социального взаимодействия. Ставки делаются на один из множества возможных исходов некоторого события, которое, по крайней мере отчасти, является случайным, то есть его результат нельзя достоверно предсказать заранее. К подобным событиям относятся скачки, игра в кости и множество других азартных игр. Сам факт участия в игре означает, что игрок знаком с ее правилами и ограничениями и, кроме того, понимает, что исход игры является случайным. Именно элемент случайности так привлекает к игре людей. Большие суммы выигрываются при ставках на исходы, маловероятные как в математическом, так и в социальном смысле (когда никто или почти никто не ставит на такой исход).
Одинаково ли понимается случайность во всех странах мира? Ответить на этот вопрос нелегко. В некоторых культурах считается, что случайность находится в руках богов и представляет собой выражение их воли. Чтобы узнать волю богов, верующие бросают камни, кости или изучают внутренности животных. В других культурах случайность сводится к количественной оценке возможных исходов, определяемой на основе составных элементов события, как, например, в лотереях или игре в кости.
Так или иначе, азартные игры встречаются практически повсеместно и не зависят от преобладающей доктрины — детерминизма или недетерминизма.
На следующей фотографии изображены две игральные кости с индонезийского острова Ломбок. Они в действительности представляют собой волчки, на которых нарезаны четыре грани, как на игральных кубиках. Во время игры волчки вращаются и падают на одну из четырех граней. Однако не все грани волчка различны — на двух противоположных гранях изображена монета, на двух других — инкрустированы кусочки перламутра. При броске любой из этих двух костей возможны всего два исхода. Обозначим их П (перламутр) и М (монета).
Игральные кости с острова Ломбок (Индонезия).
На одной из игральных костей на гранях М выгравирована еще одна фигура — медный выпуклый диск. Равновероятны ли возможные исходы? Изучив форму игральных костей, можно предположить, что нет: одни грани тяжелее других, поэтому вероятность выпадания граней отличается. Но окончательный ответ можно получить только одним способом: раскрутить игральную кость несколько раз и зафиксировать результаты. Из 20 бросков М выпало только в двух случаях. Тот, кто ставит на М, будет выигрывать редко. После нескольких бросков становится понятно, что эта игральная кость не удовлетворяет основному требованию азартной игры — возможные исходы неравновероятны. Делать ставку в такой игре нет смысла, так как исход можно предугадать с уверенностью в 80 %.