Когда математики придумали принцип образования десятичных дробей, встал вопрос: как записывать эти новые числа? Можно было бы, конечно, писать просто
Десятичные знаки в дробной части тоже могут продолжаться сколь угодно долго:
Так что числа могут не только увеличиваться, но и уменьшаться до бесконечности.
Давайте сравним 11 111 и 9999. Ребенок уже знает, что, хотя число 11 111 кажется на первый взгляд меньше, чем 9 999 (поскольку в нем одни единицы), на самом деле оно больше. Ведь это число пятизначное, а 9999 – лишь четырехзначное; а чем больше знаков в числе, тем оно больше, какие бы цифры в нем ни стояли. Если человеку предлагают в качестве зарплаты четырехзначную сумму или же трехзначную сумму, он, даже если не знает точных цифр, понимает, что в первом случае ему будут платить больше, чем во втором.
Далее ребенок узнает, что десятичные дроби уменьшаются с увеличением числа знаков после запятой: 0,03 меньше, чем 0,3, а 0,003 еще меньше. Чрезмерное обобщение возникает в том случае, когда ребенок считает: если с увеличением количества знаков в целом числе оно становится больше, то дробное число обязательно тем меньше, чем больше в нем знаков после запятой. Ему кажется, что 0,125 меньше 0,8 потому, что в числе 0,125 есть тысячные доли, тогда как в числе 0,8 – только десятые. (Обратите внимание, как язык здесь помогает создать путаницу: число, в котором присутствует тысячный разряд, на самом деле больше, чем число, в котором есть только десятки, а слова «тысячных» и «десятых» звучат очень похоже на слова «тысяч» и «десятков».)
Вы сможете помочь своему ребенку, поговорив с ним о значениях разрядов в каждом из приведенных чисел: в числе 0,8 содержится восемь десятых долей, тогда как в числе 0,125 десятая доля только одна – а на остальные цифры можно не смотреть.
Сложение и вычитание: методы устного счета
Сложение и вычитание – два краеугольных камня в фундаменте математики, и именно на этой стадии изучения математики мамы и папы скорее всего столкнутся с незнакомыми методами и терминами, такими как «числовая прямая» и «факты сложения».
Самое, возможно, серьезное изменение в преподавании сложения и вычитания заключается в том, что сегодня детей в первую очередь – прежде чем переходить к сложению и вычитанию столбиком – учат устному выполнению этих действий. В данной главе объясняется, почему акценты сместились таким образом.
Из двух названных тем наибольшие трудности для детей представляет вычитание. Большинство родителей воспринимают вычитание просто как противоположность сложению, но на самом деле все несколько сложнее, потому что у вычитания есть множество разных смыслов. Слово «вычесть» может означать и «отнять», и «найти разницу», и даже «сложить». К примеру, если у вас есть 201 каштан, а потом вы 196 из них убрали, сколько у вас осталось? Ребенок, вероятно, уверен, что для ответа нужно решить сложный пример на вычитание, а взрослый, скорее всего, видит здесь необходимость сложения (сколько нужно прибавить к 196, чтобы получить 201… а, это просто, пять!). Именно потому, что сложение и вычитание часто представляют собой одно и то же, мы и объединили их в этой и следующей главах. Сначала мы посмотрим, почему методы и приемы устного счета приобрели такое значение и чем они отличаются от обычных арифметических действий, производимых в уме, а также поговорим о том, как вы можете поддержать ребенка при освоении этих методов. В следующей главе мы рассмотрим такие случаи сложения и вычитания, когда эти действия невозможно легко выполнить устно, а также те методы письменного сложения и вычитания, которым детей в настоящее время обычно учат в школе.
Проблемы, которые часто возникают у детей в связи с устным сложением и вычитанием
1. Чтобы выполнить сложение или вычитание, ребенок считает вперед или назад единицами, тогда как существуют более простые методы. К примеру, если надо к 17 прибавить 9, он начинает считать: 18, 19, 20,… хотя намного быстрее было бы прибавить десять и затем вычесть один.