Несмотря на то что ортогональные проекции известны человечеству с незапамятных времен (вся живопись Древнего Египта есть не что иное, как ортогональные проекции на плоскость рисунка), простая мысль использовать две ортогональные проекции для получения взаимно однозначного отображения пространства на плоскость пришла Монжу лишь в конце XVIII века. Имея огромное практическое значение в теории фортификации, метод Монжа еще в течение 15 лет оберегался как военная тайна. Простота метода Монжа ошеломила современников. Познакомившись с его идеями, Лагранж, перемежая иронию с восторгом, воскликнул: "До слушания лекции Монжа я не знал, что мне известна начертательная геометрия!"
На рисунке показаны различные типы проекции одного и того же прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 1:2:3. Метод ортогональных проекций Монжа иллюстрирует рисунок а. Заметим, что третья проекция с точки зрения математики является лишней, но ею часто пользуются, чтобы создать более полное представление о пространственном теле. Как отмечалось, при ортогональном проектировании сохраняются истинные размеры контуров тела.
Однако ортогональные проекции не дают целостного впечатления о форме пространственного объекта. Более наглядное представление о форме тела дают аксонометрические проекции[33] — частный вид параллельных проекций, отображающих на плоскость К все точки пространственного объекта вместе с декартовой системой координат, к которой этот объект отнесен. На рисунке б построена аксонометрическая проекция нашего параллелепипеда. Мы видим, что в аксонометрии происходят искажения линейных размеров, различные по разным осям. Согласно основной теореме аксонометрии — теореме Польке, три произвольных отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из некоторой точки пространства, Следовательно, аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним (отношение длины по аксонометрической оси к истинной длине по соответствующей оси) могут быть выбраны произвольно. (В нашей аксонометрии углы между осями равны 120°, а коэффициенты искажения — 1.)
Наконец, на рисунке в построена центральная проекция нашего параллелепипеда. Сопоставляя все три проекции, мы видим, что перспектива наиболее адекватно, т. е. "похоже", передает видимый нами объект. Это замечательное свойство центральной проекции и снискало ей славу в искусстве живописи, где она получила особое название — перспектива (от лат. perspicio — ясно вижу). Перспективные проекции, являются и наиболее трудными из рассмотренных нами, поэтому остановимся на перспективе более подробно.
Прежде всего заметим, что реально существующий мир и видимый нами мир — не одно и то же. В самом деле, вспомним всем хорошо знакомый пример: рельсы железной дороги кажутся нам сходящимися на горизонте, хотя мы прекрасно знаем, что это не так и ни один машинист, увидев такую картину, не бросится останавливать поезд.
Ортогональные (а), аксонометрические (б) и центральные проекции (в) прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 1:2:3
Объяснение этому "парадоксу" было известно еще до нашей эры. В своем сочинении "Оптика" Евклид постулировал, что мы воспринимаем предметы, когда исходящие от них прямолинейные лучи света сходятся в нашем глазу. Таким образом, всю систему лучей зрения можно представить в виде "пирамиды зрения", вершина которой находится в глазу, а основанием служит рассматриваемый объект. В предложении 4 "Оптики" Евклид доказал, что из двух предметов одинакового размера более удаленный, т. е. видимый под меньшим углом зрения, кажется меньшим. Итак, почему дальние предметы кажутся меньшими, было понятно. Оставалось сделать еще один шаг — рассмотреть картину как сечение пирамиды зрения картинной плоскостью. Однако на этот шаг человечеству потребовалось более 1500 лет.
Мучительно долго ожидали идеи Евклида своего часа, и только в XIV веке могучий поток Возрождения подхватил их. Филиппо Брунеллёски (1377-1446), итальянский архитектор и ученый, автор выдающегося инженерного сооружения — грандиозного 42-метрового каменного купола над хором флорентийского собора Санта-Мария дель Фьоре, ставшего символом Флоренции,- сделал оставшийся шаг. Брунеллёски рассек пирамиду зрения Евклида картинной плоскостью и получил на ней центральную проекцию объекта, или перспективу. Перспектива, таким образом, была не просто объективным геометрическим методом построения изображения, но и "физиологическим" методом, т. е. методом, учитывающим закономерности работы человеческого глаза. Именно поэтому перспектива давала изображения, столь замечательно "похожие" на видимую глазом натуру.