Но вернемся в Древнюю Грецию. Теперь нам будет понятно, откуда Платону пришла мысль отождествлять физические элементы (атомы четырех стихий) с геометрическими телами — правильными многогранниками: в геометрии Платон видел ключ к познанию природы. Впрочем, по порядку...
Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т. е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники. Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существует только пять правильных многогранников[17]. Доказательство этого факта имеется в XIII книге "Начал" Евклида, но сам факт был, безусловно, известен Платону, а правильные многогранники знали пифагорейцы задолго до Платона. Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа: кристаллы поваренной соли имеют форму куба, кристаллы квасцов — октаэдра, а кристаллы пирита — додекаэдра. Последний, как показали раскопки в итальянских Альпах, был любимой игрушкой этрусских детей задолго до нашей эры.
Правильные многогранники всегда восхищали пытливые умы симметрией, простотой и мудростью своих форм. Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных тел и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям. К сожалению, мы не можем подробнее остановиться на массе любопытных геометрических свойств и физических приложений правильных тел. это выходит за рамки нашего разговор* а тем, кто заинтересуется ими, мы рекомендуем прочитать книгу К. Левитил "Геометрическая рапсодия".
Рисунки тел Платона, выполненные Леонардо да Винчи к книге Луки Пачоли 'О божественной пропорции'. Венеция. 1509
Ко времени Платона в античной философии уже созрела концепция четырех элементов (стихий) — первооснов материального мира: огня, воздуха, воды ц земли. Огонь и землю Платон считает основными компонентами для образования космоса: "...всему, что имело произойти, надлежало, конечно, быть телесным, видимым и осязаемым. Но быть видимым ничто не может без посредства огня, точно так же и осязаемым ничто не может быть без чего-нибудь твердого, твердым же ничто не может быть без земли (Тимей)". Между основными стихиями помещаются две средние — вода и воздух, и все они связываются музыкальными отношениями. Атомам земли Платон придает форму куба, так как и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью. Атомам воды — форму икосаэдра, так как вода отличается текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр — наиболее "катящийся". Атомам воздуха — форму октаэдра, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны. Атомам огня — форму тетраэдра как наиболее острого, мечущегося в разные стороны. Не у дел остался пятый правильный многогранник — додекаэдр. Для него Платон вводит пятый элемент — "пятую сущность"[18] — мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкого к шару — самому с0' вершенному по форме телу. С тех пор правильные многогранники называются также платоновыми телами.
Далее, поскольку в музыкальных отмщениях греки видели основу "всеобщей гармонии", Платон устанавливает эти отношения не только для космических тел (гармония сфер), но и для самих элементов, из которых состоит космос. По Платону, отношение основных элементов — атомов земли к атомам огня — равно октаве (2/1), отношение атомов земли и воды, а также воздуха и огня равно кварте (4/3) и т. д. Несмотря на любовь Платона к геометрии, эти отношения не имеют никакой математической базы. Ими Не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы этих тел, вписанных одно в другое, ни число ребер или граней.
Заметим, что поиск музыкальных отношений в геометрических образах сильно увлекал античных исследователей. Не случайно из множества первоклассных открытий Архимед больше всего ценил открытие отношения объемов и площадей поверхностей цилиндра и вписанного в него шара, равного 3/2, т. е. квинте.
Но и в отжившем учении Платона об атомах четырех стихий есть своя внутренняя мудрость. Стремление свести сложные природные явления к простым неразложимым компонентам остается содержанием и современного естествознания. Сейчас известно чуть более ста атомов элементов, из которых состоят все встречающиеся в природе вещества. Сверхзадачей современной физики является выявление "кирпичиков мироздания" — элементарных частиц — первичных, неразложимых далее частиц, из которых состоит вся материя. Еще в начале XX века считалось, что таких частиц три: электрон, протон и нейтрон. Однако катастрофический рост числа открываемых элементарных частиц привел во второй половине XX века к пересмотру воззрений об их элементарности. Сегодня есть основания считать, что такие "экс-элементарные" частицы, как протоны, нейтроны, мезоны, гипероны и др., состоят из различных комбинаций трех типов кварков[19] (либо пар кварк — антикварк) — новых "кирпичиков мироздания". Не вдаваясь в дебри современной ядерной физики, отметим только, что, как и во времена Платона, принцип простоты является той нитью Ариадны, которая ведет сегодня физиков по темным лабиринтам микромира.
17
В самом деле, сумма плоских углов s при вершине выпуклого многогранника должна быть строго меньше 360°, а число граней при вершине m≥3. Тогда гранями правильного многогранника могут быть только три плоские фигуры: правильные треугольник, четырехугольник (квадрат) и пятиугольник, ибо уже для шестиугольников s = 120°*3 = 360°. Название правильному многограннику дается по общему числу граней М. Таким образом, из равносторонних треугольников можно составить три правильных многогранника при m = 3, 4, 5 (при m = 6 s = 60°*6 = 360°):
1. Тетраэдр (четырехгранник): m = 3, М = 4.
2. Октаэдр (восьмигранник): m = 4, М = 8.
3. Икосаэдр (двадцатигранник): m = 5, М = 20, а из квадратов и правильных пятиугольников — только по одному при m = 3 (при m = 4 s = 90°*4 = 360° — для квадратов и s = 108°*4 = 432° — для пятиугольников).
4. Гексаэдр (шестигранник), или куб: m = 3, М = 6.
5. Додекаэдр (двенадцатигранник): m = 3, М = 12.
В любом выпуклом многограннике числа вершин L, граней М и ребер N связаны формулой Эйлера L + M — N = 2.
18
19
Любопытна история возникновения термина. Это название заимствовано американским физиком М. Гелл-Маном, высказавшим в 1964 г. гипотезу о существовании трех неизвестных частиц, из романа современного английского писателя Дж. Джойса "Поминки по Финегану". Хотя по-немецки "кварк" — это "творог", в романе слово означает нечто таинственное и непонятное. Герою романа снится сон, где чайки кричат: "Три кварка для мастера Марка". Так слово, изобретенное писателем Джойсом, стало едва ли не важнейшим термином современной ядерной физики. Вот они, узы науки и искусства!