Жизнь — результат множества динамических явлений, благодаря которым становится возможным ее поддержание и развитие. На иллюстрации — жизненный цикл лягушки, изображенный на немецкой гравюре конца XIX столетия.
Для изучения живых существ и экосистем могут использоваться те же теории и методы, что и для изучения любых других динамических систем. Так, биологические системы образованы множеством элементов, будь то муравьи, нейроны, вещества, участвующие в метаболизме, или птицы, причем их состояние или поведение (идет ли речь о муравейнике, мозге или стае птиц) со временем изменяется.
Еще одно важное свойство биологических систем заключается в том, что их состояние или поведение является результатом взаимодействия между их элементами.
К примеру, состояние муравейника в момент времени t будет результатом взаимодействия между отдельными муравьями в рассматриваемый период времени. В силу этого свойства кажется очевидным, что математическая модель должна включать наблюдаемые характеристики, репрезентативные для состояния или поведения изучаемой системы. В случае с муравейником это будет численность рабочих муравьев, муравьев-солдат и других членов колонии, в примере с метаболизмом — объемы веществ А, В, С и т. д.
Для математика наблюдаемые характеристики системы, значение которых можно получить экспериментально, являются переменными модели и обозначаются х, у, …, z. Если известны значения этих переменных в разные моменты времени х(t), у(t)…, z(t), то известно, каким будет состояние или поведение системы (муравейника, мозга, метаболизма или стаи птиц) в момент времени t. Обратите внимание, что в динамической системе время t является независимой, или входной, переменной. Выходной переменной, в свою очередь, будет состояние системы, которое определяется множеством зависимых переменных х(t), у(t)…, z(t). Математическая модель позволяет описать состояние системы в определенный момент времени t, а также с ее помощью предсказать будущее состояние системы для значения t, достаточно далеко отстоящего от текущего момента, — именно это происходит при составлении прогнозов погоды или прогнозировании уровня заболеваемости во время эпидемии. В последние десятилетия стало актуальным прогнозирование уровня заболеваемости гриппом, коровьим бешенством или СПИДом.
* * *
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Прогнозирование стало неотъемлемой частью жизни общества в XX–XXI веках. Определяющее влияние на будущее людей оказывает возможность контролировать изменения: социальные, экономические, эпидемические и т. д. С момента изобретения компьютера прогнозирование будущего с помощью математического моделирования чрезвычайно широко используется в науке и технике. Моделирование охватывает все сферы человеческой деятельности, от изучения экологических (рост численности населения, экосистемы, климатические модели и т. д.) и физиологических систем (обмен веществ, клетки, сердце, мозг, мышцы) в биологии и медицине до изучения социальных систем (опросы общественного мнения, анализ безработицы, состояние рынков и т. д.) в политологии и экономике.
Компьютерное моделирование поведения белков, связанных с болезнью Паркинсона.
* * *
Одна из классических математических задач звучит так. Предположим, что мы хотим найти неизвестную функцию у, для которой известна ее производная у'. Допустим, производная у' неизвестной функции у равна Зх2 (говоря математическим языком, у' = 3x2). Необходимо определить у. Эта задача допускает несколько возможных решений (они называются первообразными), но если нам также известно значение функции в некоторой точке, например у(0) = 0, то решение будет единственным. Чтобы найти у, нужно вычислить интеграл