Теперь предположим, что мы хотим дать общее определение таблице, использованной в эксперименте с растениями и удобрениями. Можно сказать, что даны m растений и n видов удобрений, и записать представленную выше таблицу в круглых скобках:
Такая форма представления данных называется матрицей. Таким образом, матрица размера m х n — это всего лишь множество из m х n элементов, записанных в m строк и n столбцов. Матрицы обычно обозначаются заглавными буквами — А, В, С и т. д. Они позволяют удобно представлять не только данные, но и системы уравнений. Рассмотрим в качестве примера следующую систему линейных уравнений:
В матричном виде эту систему уравнений можно представить так:
С помощью матриц можно проанализировать также химическую структуру молекулы. К примеру, если мы присвоим произвольные обозначения атомам углерода С в молекуле витамина А, или ретинола, как показано на рисунке
то молекула витамина А будет представлена следующей матрицей.
Обратите внимание, что хij = 1, если между атомами i и j существует связь, если же связь между атомами отсутствует, хij = 0.
* * *
ПРЕЛЕСТЬ МАТРИЦ — В ИХ РАЗНООБРАЗИИ
Всевозможные обозначения, связанные с матрицами, встречаются очень часто. Разъясним некоторые популярные термины.
Квадратная матрица — это матрица, в которой число строк и столбцов одинаково:
Симметричная матрица — это квадратная матрица, в которой выполняется соотношение хij = хji:
Единичная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой равны 0, и только элементы главной диагонали равны 1. Единичная матрица обозначается буквой Е.
Диагональная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой равны 0, за исключением элементов главной диагонали:
Нулевая матрица — матрица (необязательно квадратная), все элементы которой равны 0:
Треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные над главной диагональю или под ней, равны 0. Слева представлен пример верхнетреугольной матрицы, справа — нижнетреугольной.
* * *
Соотношение между элементами представимо с помощью графа. К примеру, элементы нейронной сети или клеточного метаболизма могут быть представлены узлами, связанными между собой дугами. Таким образом, можно сопоставить матрицу графу, как мы показали в примере с витамином А.
С помощью матрицы можно представить экспериментальные данные, системы уравнений и графы. И по-настоящему важно, что над матрицами мы можем выполнять различные действия. С середины XIX века известны правила операций над «данными, расположенными в строках и столбцах», к примеру, сложение и умножение матриц. С того времени была создана матричная алгебра, составляющая основу многих количественных методов математической биологии и других дисциплин. К примеру, изучение динамических систем в экологии или физиологии, анализ и решение многочисленных задач генетики, как правило, проводятся с помощью операций над матрицами.
В этом разделе мы опишем некоторые наиболее частые операции над матрицами, знание которых поможет понять многочисленные способы применения матриц.
Сложение
Это одна из простейших операций над матрицами. Допустим, в эксперименте рассматриваются две матрицы размером 2 x 2, которые мы обозначим А и В:
такие, что
Как будет выглядеть матрица С, равная их сумме, то есть А + В? Матрица С образуется последовательным сложением элементов исходных матриц: с11 = а11 + Ь11, с12 = а12 + Ь12, с21 = а21 + Ь21 и с22 = а22 + Ь22: