Определитель квадратной матрицы размером 3 x 3
Мы уже показали, как вычислить определитель второго порядка. Сделаем еще один шаг вперед. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
Будем считать, что каждому ее элементу соответствует знак + или —, как если бы речь шла о кристалле хлорида натрия, то есть обычной поваренной соли:
Выберем, к примеру, первую строку матрицы и исключим ее из рассмотрения. Затем исключим элементы первого столбца матрицы:
Выполним над элементами матрицы следующие операции:
Обратите внимание, что а11 положительно, так как этому элементу матрицы соответствует знак +.
После того как мы исключили из рассмотрения первую строку и первый столбец матрицы, оставшиеся элементы образуют новую матрицу. Определитель полученной матрицы называется минором Мij, где i и j — номер строки и столбца, исключенных из рассмотрения. В нашем примере i = 1, j = 1.
Выполним аналогичные действия для второго столбца матрицы:
Учитывая, что элемент а12 имеет знак —, получим:
Повторим аналогичные действия для третьего столбца:
С учетом того, что а13 имеет знак +, получим:
Теперь, чтобы вычислить определитель матрицы А, нужно свести полученные выше результаты в одно выражение:
Пусть дана матрица A:
Ее определитель вычисляется следующим образом:
Предположим, что даны три вектора, исходящие из одной точки. Допустим, их координаты таковы: u-> = (2, -1, 4), v-> = (3, 3, -2) и w-> = (-3, 2, 1). Если мы вычислим определитель:
получим 71. Что означает это число? Поскольку в нашем примере векторы исходят из одной точки, значение определителя равно объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах.
Любопытно, что деление матрицы на матрицу невозможно. Однако на помощь придет математическая смекалка. Допустим, что мы хотим разделить 5 на 2, то есть найти значение 5/2, при этом использовать операцию деления нельзя. Напомним, что:
Следовательно, если мы заменим числа 5 и 2 матрицами А и В, получим:
где В-1 — матрица, обратная В. Обратите внимание, что произведение В·В-1 будет равно единичной матрице Е. Отметим, что матрица В должна быть квадратной, то есть иметь одинаковое число строк и столбцов. Кроме этого, матрица В будет иметь обратную только в том случае, если ее определитель отличен от 0.
Найти обратную матрицу для матрицы 3 x 3 несложно, хотя для этого потребуются трудоемкие вычисления. Читатель легко найдет всю интересующую информацию по этому вопросу самостоятельно. Обратную матрицу для матрицы 2 x 2 очень просто найти следующим способом. Пусть дана матрица А:
Обратная ей матрица А-1 определяется напрямую. Она имеет вид:
Напомним, что 1/(ad — bc) — величина, обратная определителю матрицы. Применив программу символьных вычислений Derive, найдем матрицу, обратную матрице А (не будем приводить все промежуточные действия):
Если мы запишем в программе выражение: А^(—1), то получим А-1 то есть обратную матрицу:
Обратные матрицы часто используются в трехмерном компьютерном моделировании, а умножение матриц полезно для обсчета поворотов, например при компьютерном моделировании поворота головы динозавра. Подобные модели широко применяются в биомедицине, а обратные матрицы — при шифровании сообщений, а также в некоторых основных статистических методах многовариантного анализа, который представляет собой совокупность статистических методов, применяющихся для анализа данных в биологии и медицине. Также операции над матрицами используются для решения систем линейных уравнений, о чем мы расскажем в следующей главе.