Но какое отношение векторы имеют к матрицам? Действия над матрицами — один из способов выполнения операций над векторными величинами, которые, как нетрудно убедиться, широко применяются не только в науке и технике, но и в повседневной жизни.
Так, матрица с произвольным числом строк m и единственным столбцом обозначает вектор и называется вектор-столбцом. Векторы обозначаются u->, v-> и т. д. К примеру, вектор u-> записывается так:
Логично предположить, что число элементов вектора, m, имеет отношение к важному его свойству — оно соответствует размерности пространства, в котором мы работаем. В частности, вектор
соответствует векторной величине на плоскости. Начало этого вектора находится в точке (0, 0), конец — в точке (2, 7). Следующий вектор расположен в пространстве (очевидно трехмерном):
Начало этого вектора находится в точке (0, 0, 0), конец — в точке с координатами (3,1,3).
Чему равно значение величины, изображаемой этим вектором? Если обозначить рассматриваемый вектор через u->, достаточно будет вычислить:
В математике модуль вектора обозначается |u|. К примеру, модули двух описанных выше векторов равны:
* * *
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В результате изучения матриц и систем линейных уравнений в XVII веке было определено понятие векторного пространства. Не будем останавливаться на нем подробнее, отметим лишь, что с точки зрения математики возможность сложения векторов (то есть выполнения операции u->+ v->) и умножения произвольного числа k на вектор u-> (k·u->) вкупе с соблюдением некоторых свойств позволяет определить векторное пространство как множество векторов, обладающее определенными характеристиками. Векторное пространство является одним из основных понятий в математической биологии. Оно используется в изучении филогенеза, при классификации цепочек ДНК, в экологических моделях, при исследовании метаболизма или восприятия цветов, а также в других областях.
* * *
Если возникает необходимость определить вектор-строку, достаточно применить операцию транспонирования:
(u1 u2 … um).
Далее вы узнаете, как векторы используются в изучении локомоции (перемещения животных) и при анализе нейронных сетей.
Один из самых интересных способов применения векторов — изучение локомоции животных. Кузнечики прыгают, люди могут поднимать тяжести руками, рыбы плавают, птицы летают. Понять механику этих движений помогают операции с векторами.
Если мы рассмотрим движение руки человека, один вектор можно будет сопоставить бицепсу (этот вектор будет обозначать силу сокращения мышц), второй вектор будет обозначать противодействующую силу, третий вектор — указывать вес объекта, который поднимает рука.
Сложение векторов также помогает понять функцию некоторых мускулов. Один из методов сложения векторов — это известное правило параллелограмма. Заключается оно в том, что нужно привести два вектора, сумму которых мы хотим найти, к общему началу. Затем на этих двух векторах нужно построить параллелограмм.
К примеру, если рассмотреть ногу человека и обозначить боковую часть четырехглавой мышцы бедра вектором FL->, а среднюю часть этой мышцы — вектором FM->, сумму этих векторов можно найти по правилу параллелограмма. Иными словами, сумма векторов FL-> + FM-> будет обозначать суммарную силу четырехглавой мышцы F->.
Сумма векторов, соответствующих мышцам ноги, найденная по правилу параллелограмма.
Другой классический пример — сила F->, с которой сокращаются мышцы-сгибатели предплечья. Если представить эту силу в виде вектора, то она будет равна сумме двух других векторов, соответствующих другим мышцам. Один из этих векторов, FU->, перпендикулярен предплечью, второй вектор, FИ->, параллелен предплечью.