Сумма векторов, соответствующих мышцам руки, найденная по правилу параллелограмма.
Если векторов больше двух, их сумму можно найти по правилу многоугольника. Заключается оно в том, что конец каждого вектора совмещается с началом следующего. Суммой исходных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, конец — с концом последнего вектора. Этот метод полезен при вычислении скорости движения корабля, полета птиц, перемещения пловца или рыбы.
В примерах с птицей или рыбой результирующая скорость будет равна сумме всего двух векторов. Но в силу особенностей задачи для сложения векторов используется не правило параллелограмма, а правило многоугольника.
Допустим, что рыба или птица движется в воде или в воздухе со скоростью, обозначаемой вектором VA->, VM-> — скорость течения воды (или ветра). Как следствие, вектор результирующей скорости V-> будет равен сумме векторов VA-> и VM->, определяемой по правилу многоугольника.
Сумма векторов в примере с полетом птицы, найденная по правилу многоугольника.
Достаточно помнить, что во всех подобных примерах, если вы хотите найти результат как вектор-столбец, к примеру F->, V->:
нужно сложить векторы по тому же правилу, что и матрицы, то есть FU-> + FИ->, FL-> + FM-> и VA-> + VM-> соответственно.
Помимо сложения, существует множество способов применения других операций над векторами. Так, умножение векторов успешно используется в математических моделях, описывающих наиболее характерные функции мозга.
Когда мы говорили об операциях над матрицами, мы представили модель нейронной сети, основанную на произведении вектора и матрицы:
Нейронную сеть также можно представить в более простом виде:
M·u-> = v->.
В соответствии с вышесказанным, u-> — вектор, представляющий слой входных, или афферентных, нейронов, вектор v-> — слой выходных, или эфферентных нейронов.
М — матрица связей между нейронами этих двух слоев, также известная как матрица памяти. Это название указывает на то, что именно в связях между нейронами, синапсах, мозг хранит всю известную нам информацию.
Эту гипотезу выдвинул испанский исследователь Сантьяго Рамон-и-Кахаль, а позднее развил американский ученый Дональд Хебб. В настоящее время нейробиологи считают, что именно в связях между нейронами фиксируются черты лиц знакомых нам людей, очертания букв, чисел и многие другие образы.
Сантьяго Рамон-и-Кахаль (1852–1934) в лаборатории. Справа изображен один из его рисунков, описывающих нейронные сети.
Следовательно, если мы рассмотрим произвольную строку матрицы М как вектор-строку, описывающий связи между определенным выходным нейроном и всеми входными нейронами, то состояние этого выходного нейрона можно будет вычислить так, как мы объясняли в прошлой главе. Операция над векторами называется скалярным произведением. Рассмотрим два вектора: вектор-строку а-> (исключительно из формальных соображений дополним это обозначение буквой t, что означает «транспонированный») и вектор-столбец Ь->. Скалярное произведение этих двух векторов будет равно:
Выполнив указанные арифметические действия, получим итоговый результат, равный 4. Скалярное произведение, которое также называют внутренним произведением векторов, — это число, указывающее длину проекции вектора-строки а-> на вектор Ь->. Если известны длины обоих векторов, |а->| и |Ь->|, а также угол α между ними, то скалярное произведение векторов а->·Ь-> будет равно |а->|·|Ь->|·cos α. Этот результат представляет для нас особый интерес, если учесть, что |а->|·cos α — это значение проекции вектора а-> на вектор Ь->.