По какой-то странной причине комплексные числа тесно связаны со многими физическими явлениями. Они присутствуют в электромагнетизме, используются в электронике, электротехнике, квантовой механике и при изучении волн. В математической биологии комплексные числа применяются при изучении биологических ритмов, занимают важное место в теории хаоса, без них невозможно представить фракталы на компьютере.
Графическое представление комплексных чисел очень просто. Если предположить, что комплексное число — это точка z, то в декартовой системе координат, которую далее мы будем называть комплексной плоскостью, на горизонтальной оси X будет откладываться его вещественная часть а, на вертикальной оси Y — мнимая часть Ь.
Если мы также обозначим через r расстояние от начала координат до точки z, нетрудно показать, что это расстояние (оно называется модулем комплексного числа и обозначается |z|) равно √(a2 +Ь2). Более того, если учесть, что вещественная часть а равна косинусу угла α между осью х и радиус-вектором точки z, умноженному на модуль комплексного числа, а мнимая часть Ь — синусу угла α, умноженному на модуль комплексного числа, то в так называемых полярных координатах число z будет записываться следующим образом:
z = r·(cos(α) + i·sin(α)).
Одно из самых любопытных свойств комплексных чисел заключается в том, что они расширяют возможности моделирования реальности, так как на них не распространяются ограничения, свойственные вещественным числам. Чтобы совершать с ними действия, можно представить, что, находясь на комплексной плоскости, ученый одной ногой стоит в вещественном мире (ему соответствует часть а), другой — в мнимом мире (ему соответствует часть b). При необходимости он беспрепятственно путешествует из одного мира в другой. Таким образом, к примеру, операции сложения и умножения комплексных чисел расширяют значение этих двух операций, что вы могли видеть при изучении фракталов Мандельброта и множеств Жюлиа.
С комплексными числами могут выполняться операции сложения и вычитания. На первый взгляд это кажется сложным, но в действительности это не так. Сумма двух комплексных чисел а + bi и с + di рассчитывается следующим образом:
(а + i) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i.
К примеру, (2 + 5i) + (3 — i) = (2 + 3) + (5–1)i = 5 + 4i.
Вычитание — операция, обратная сложению, следовательно, разность комплексных чисел a + bi и с + di рассчитывается так:
(а + i) + (с + di) = (а — с) + (b — d)i.
К примеру, (1 + 3i) — (4 + 2i) = (1–4) + (3–2)i = —3 + i.
Также для комплексных чисел определены умножение и деление.
Произведение двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:
(а + bi)·(с + di) = (ас — bd) + (ad + bc)i.
Обратите внимание, что результат умножения можно получить следующим, более понятным способом:
(а + bi)·(с + di) = а·с + а·d·i + b·с·i + b·d·i2.
Напомним, что i2 = —1. Имеем:
a·c + a·d·i + b·i·c — b·d.
Приведем подобные слагаемые:
(ас — bd) + (ad + bc)i.
К примеру, (2 + 6i)·(8 + 2i) = (2·8–6·2) + (2·2 + 6·8)i = 4 + 52i.
Частное двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:
Например,
И вновь обратите внимание, что частное двух комплексных чисел — это результат выполнения следующей последовательности действий: