Идеи Гаусса в неевклидовой геометрии подхватил и развил один из его учеников Бернгард Риман. Римана всю жизнь преследовали недуги, прожил он всего 40 лет, но за это время успел написать труд по неевклидовой геометрии. Если Гаусс рассматривал свою геометрию только в двух измерениях, то Риман обобщил её на три и более измерений. Легко представить себе искривлённую поверхность, но что такое искривлённое трёхмерное пространство? В математике это было ново – что-то описывается при помощи формул и чисел, однако наглядно этого не представишь. Римана это не остановило; его не интересовало, можно ли представить его построения. Он дал способ выполнять расчёты и делать предсказания, всё остальное не имело значения.
Примерно в то же время, когда Риман развивал взгляды Гаусса, два других математика – Николай Лобачевский и Янош Бойяи – независимо разработали другую неевклидову геометрию. Их интересовало, как будет выглядеть геометрия, в которой через точку, расположенную вне прямой, можно провести бесконечно много параллельных линий. Бойяи создал такую геометрию и передал свои результаты отцу, который послал их Гауссу. Лобачевский опубликовал свои результаты в книге по геометрии. Итак, появились три различные геометрии, причём две из них основывались на видоизменениях пятой аксиомы. В геометрии Евклида через точку, расположенную вне прямой, можно провести только одну параллельную ей линию, в римановой – ни одной, а в геометрии Лобачевского-Бойяи – бесконечно много. Хотя каждая из них относится к двум, трём и более измерениям, легче всего представить себе два измерения. Как уже упоминалось, геометрия Евклида справедлива на плоскости, а геометрия Римана связана с искривлённой поверхностью, причём эта кривизна положительна, как у поверхности сферы. Геометрия Лобачевского-Бойяи описывает поверхность с отрицательной кривизной; такую поверхность имеет, например, седло. Если на ней начертить треугольник, сумма его внутренних углов будет меньше 180°.
Риман изложил свою геометрию так, что её можно применять локально. В предложенной им обобщённой геометрии учитывается изменение кривизны от точки к точке. Например, в ней можно описать холмы и домики, если они есть на поверхности. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим теорему Пифагора, известную всем из школьной программы.
Эта теорема гласит, что у прямоугольного треугольника, изображённого на плоской поверхности, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если же поверхность искривлена, это соотношение не выполняется, вместо него используется другое выражение, учитывающее кривизну поверхности. Отсюда следует, что, измерив длину сторон прямоугольного треугольника, можно определить кривизну поверхности. Если же кривизна меняется от точки к точке, нужно покрыть поверхность достаточно маленькими треугольниками и измерить их стороны.
Идеи Римана развили математики Риччи и Кристоффель. Вершиной их трудов стал очень красивый, но весьма абстрактный раздел математики, называемый тензорным исчислением. Именно его использовал Эйнштейн при создании общей теории относительности.
Вы уже знаете, что Риман рассматривал искривлённые математические пространства трёх и более измерений. Однако он не остановился на этом и рассмотрел возможность того, что и наше физическое пространство искривлено. Мы, конечно, не в состоянии вообразить себе такое физическое пространство; самое большое, на что мы способны, – это представить себе двумерное пространство (поверхность), которое, в свою очередь, математически может быть представлено, как погружённое в пространство с большим числом измерений. Казалось бы, четырёх измерений вполне достаточно, однако это не так. Чтобы должным образом определить трёхмерную геометрию, требуется шесть измерений.
Иногда утверждают, что первым идею об искривлённости физического пространства предложил Эйнштейн. На самом деле это не так. Помимо Римана активным сторонником этой идеи был математик Уильям Клиффорд. Вот что он писал: «…Небольшие участки пространства по сути аналогичны холмикам на в целом ровной поверхности… Обычные законы геометрии в таких местах не выполняются…». Но эта идея опередила своё время, и большинство современников её не заметили. Нужно подчеркнуть, что, хотя Клиффорд высказал мысль об искривлённости пространства, он, в отличие от Эйнштейна, не построил математической теории, объясняющей, насколько и почему оно искривлено; нельзя даже сравнивать то, что сделали Клиффорд и Эйнштейн. Эйнштейн, конечно, понимал, что он многим обязан таким учёным, как Риман и Клиффорд. Однажды он сказал, что без достижений Римана не было бы и его теории.
Эйнштейн, объединивший искривлённое пространство, тяготение и время в одну последовательную непротиворечивую теорию, родился в Германии в 1879 году. Его отец отличался лёгким и весёлым нравом, хотя хозяин фабрики из него получился не слишком удачливый. Мать Эйнштейна была чуткой, понимающей женщиной, глубоко чувствовавшей музыку. Родителей беспокоило, что ребёнок долго не говорит, но дедушка с бабушкой с колыбели считали его гением. Дед писал: «Я его обожаю, вы и вообразить не можете, какой это славный и умный мальчик».
Альберт Эйнштейн (1879-1955)
Позднее Эйнштейн признался, что школу он не любил; учителя напоминали ему сержантов. От своих сверстников он отличался тем, что не терпел ничего военного, ни игр, ни парадов – их он просто ненавидел. Зато его с раннего возраста волновала природа, а её тайны будили страстное любопытство. Интересно поразмышлять над тем, что именно разожгло его любопытство. При этом Эйнштейн, как правило, вспоминал компас, подаренный ему в пять лет, и книгу по геометрии, полученную в одиннадцать. То, что компас независимо от того, как его поворачивали, всегда показывал одно направление, казалось мальчику волшебством.
Когда отец разорился и всей семье пришлось переехать в Италию, Альберт учился в гимназии в Германии, где ему пришлось остаться, чтобы получить аттестат. Оказавшись в одиночестве в школе, отличавшейся скучным механическим методом преподавания, он почувствовал себя заброшенным и несчастным и принялся строить планы побега. К его изумлению, однажды его вызвал один из учителей и предложил уйти из гимназии. (Очевидно, отношение Альберта к преподаванию стало проявляться и в классе.) Он с радостью отправился пешком в Северную Италию, где жили родители, и следующие несколько месяцев его ищущий приключений дух и энергия были направлены на чтение любимых книг и походы в горы. Но скоро дела у отца снова пошли плохо, и родители посоветовали Эйнштейну подумать о будущем.
Аттестата об окончании гимназии у Альберта не было, и в большинство университетов он поступить не мог. Впрочем, Цюрихский политехникум принимал всех, кто сдал вступительные экзамены, и Эйнштейн решил попытать счастья. Ему было 16 лет, на два года меньше, чем большинству поступающих, но он уже сам освоил математический анализ и прочёл множество популярных научных книг. Как ни странно, уже тогда в его сознание запало семя, давшее позднее всход в виде его теорий. Начитавшись популярной литературы, он задался вопросом: «Что будет, если двигаться со скоростью света?». «Что произойдёт со светом, если бежать рядом с ним?» – вот вопрос, который он поставил перед собой ещё тогда.
Однако знание математики и естественных наук не помогли ему сдать экзамены – он провалился. Впрочем, сама мысль об этом утешает – если уж Эйнштейн чего-то не смог, то и для нас не всё потеряно! Альберт не прошёл потому, что у него не было достаточной подготовки по языкам и биологии. Экзаменатор отметил прекрасное владение материалом по математике и естественным наукам и предложил ему попытать счастья на будущий год, предварительно получив аттестат о среднем образовании.
Эйнштейн последовал его совету и поступил в школу в Аарау, маленьком городке неподалёку от Цюриха. К его радости оказалось, что швейцарские школы совсем не похожи на немецкие – вместо «армейской» царила непринуждённая атмосфера дружелюбия, очень понравившаяся Альберту. На следующий год он вновь сдавал экзамены в политехникум и был принят.