Широко предлагаются, исследуются и применяются модели, приводящие к следующему частному случаю задачи (1):
Представляет интерес изучение и сравнение между собой планов возможного экономического поведения на k шагов
и
(Естественно, предполагаем, что все пары соседних элементов входят в множество К ). Естественно сравнение проводить с помощью описывающих результаты экономической деятельности функций, участвующих в задачах (1) и (2). Именно, будем говорить, что план Х 1 лучше плана Х 2 при реализации с момента i , если
Будем писать Х 1 R(i)Х 2 , если выполнено неравенство (3), где R(i) – бинарное отношение на множестве планов, задающее упорядочение планов отношением «лучше».
Ясно, что упорядоченность планов на k шагов, определяемая с помощью бинарного отношения R(i), может зависеть от i , т. е. «хорошесть» плана зависит от того, с какого момента i он начинает осуществляться. С точки зрения реальной экономики это вполне понятно. Например, планы действий, вполне рациональные для периода стабильного развития, никуда не годятся в период гиперинфляции. И наоборот, приемлемые в период гиперинфляции операции не принесут эффекта в стабильной обстановке.
Однако, как легко видеть, в моделях с дисконтированием (2) все упорядочения R(i) совпадают , i = 1,2, …, m—k. Оказывается – это и есть основной теоретический результат настоящего подпункта – верно и обратное: если упорядочения совпадают, то мы имеем дело с задачей (2) – с задачей с дисконтированием, причем достаточно совпадения только при k =1,2. Сформулируем более подробно предположения об устойчивости упорядочения планов.
(I). Пусть
Верно одно из двух: либо
для всех
либо
для всех
(II). Пусть
Верно одно из двух: либо
для всех
либо
для всех
Как впервые подробно показано в работе [4], при некоторых внутриматематических условиях регулярности из условий устойчивости упорядоченности планов (I) и (II) следует существование констант
и
таких, что
Поскольку прибавление константы не меняет точки, в которой функция достигает максимума, то последнее соотношение означает, что условия устойчивости упорядоченности планов (I) и (II) характеризуют (другими словами, однозначно выделяют) модели с дисконтированием среди всех моделей динамического программирования.
Математические условия, при которых доказывалась теорема о характеризации моделей с дисконтированием, постепенно ослаблялись на протяжении 1970–х годов, однако на экономическую сторону дела эти внутриматематические усовершенствования не влияли.
Асимптотически оптимальные планы. Рассмотрим модель (2) с
т. е. модель без дисконтирования
При естественных математических предположениях, на которых не будем останавливаться, при каждом m существует оптимальный план
при котором достигает максимума оптимизируемая функция. Поскольку выбор горизонта планирования нельзя рационально обосновать, хотелось бы построить план действий, близкий к оптимальному при различных горизонтах планирования. Это значит, что целью является построение бесконечной последовательности
такой, что ее начальный отрезок длины m, т. е.
, дает примерно такое же значение оптимизируемого функционала, как и значение для оптимального плана
Бесконечную последовательность