У каждого из нас двое родителей, четверо бабушек-дедушек, восемь прародителей, 16 прапрародителей и т. д. С каждым переходом на поколение назад число предков по прямой линии удваивается. Аналогии с легендой о персидских шахматах очевидны. Допустим, поколения сменяются каждые 25 лет. Тогда 64 поколения укладываются в 64 × 25 = 1600 лет (столько лет назад Древний Рим приблизился к своему краху). Выходит, каждый из ныне живущих должен был иметь в 400 г. н. э. около 18,5 квинтиллиона предков (см. врезку)? Причем без учета родственников по боковым линиям. Но это намного больше всего населения Земли, тогдашнего и нынешнего, намного больше суммарного числа когда-либо живших людей. Где же ошибка? В предпосылке, что все наши прямые предки – разные люди. Разумеется, это не так. К одному и тому же предку восходит множество линий наследования. С каждым мы соединены многими пересекающимися родственными связями. По мере продвижения вглубь времен число пересечений становится огромным.
Это относится ко всему человечеству. Достаточно углубившись в прошлое, можно найти общего предка любых двух людей на Земле. Всякий раз, как избирается новый президент США, кто-нибудь – как правило, в Англии – непременно находит его родственные связи с британской королевой. Считается, что это объединяет носителей английского языка. У двух представителей одного народа или этноса или уроженцев достаточно изолированного региона, имеющих документированную генеалогию, найти общего предка не проблема. Но даже если следы его теряются в дали времен, он обязательно есть. Все мы родичи – абсолютно все, живущие на Земле.
Давайте подсчитаем, сколько же зерен пшеницы нужно было поместить на шахматную доску из персидской легенды. Не пугайтесь, это не сложно!
Следующий изящный ход позволит нам получить практически точный результат.
Показатель степени говорит, сколько раз мы умножили число 2 само на себя. 22 = 4, 24 = 16, 210 = 1024 и т. д. Пусть S – общее количество зерен на доске, от одного зернышка на первой клетке до 263 на 64-й. Тогда, очевидно:
Просто умножив на два обе части уравнения, приведем его к виду:
Вычтем первое уравнение из второго:
Это и есть ответ.
Чтобы представить размер этого числа, перейдем к обычной десятичной записи. 210 – это примерно 1000, или 103 (с разницей в 2,4 %). Таким образом, 220 = 2(10 × 2) = (210)2 = примерно (103)2 = 106, что есть 10, взятые шесть раз, т. е. миллион. Аналогично, 260 = (210)6 = примерно (103)6 = 1018. Тогда 264 = 24 × 260 = около 16 × 1018, или 16 с восемнадцатью нулями – 16 квинтиллионов зерен. Точный расчет дает 18,6 квинтиллиона.
Еще один яркий пример геометрической прогрессии связан с понятием так называемого периода полураспада. Радиоактивный «материнский» элемент, допустим, плутоний, распадается в дочерний элемент, обычно менее опасный. Это не моментальный процесс, он протекает во времени по определенному закону. Через известный промежуток – период полураспада – распадется половина атомов. Оставшиеся продолжат делиться, по прошествии еще одного такого же временного интервала половина их также распадется и т. д. Например, при периоде полураспада, равном году, половина имеющегося количества атомов распадется через год, половина оставшейся половины, или четверть исходного количества, – через два года, одна восьмая от начального числа – через три года, одна тысячная – через 10 лет и т. д. У каждого элемента свой период полураспада. Этот показатель приходится учитывать при решении проблемы хранения отработавшего топлива АЭС или при расчете радиоактивного заражения местности в ходе ядерной войны. Это пример экспоненциального уменьшения, противоположный представленному в персидской легенде экспоненциальному росту.