22 = 4 = 1 + 2·1 + 1.
Мы обнаружили ключ к задаче. Разности между соседними квадратными числами всегда нечетны, потому что для построения следующего полного квадрата к предыдущему нужно добавить единичный квадрат.
Подтверждение
Мы хотим окончательно доказать нашу гипотезу, не проводя экспериментов над всеми натуральными числами и не используя геометрическую аналогию. Эксперимент и аналогия помогают сформулировать теорему или понять явление, но не позволяют подтвердить правильность полученного результата для всех квадратов.
Вернемся к исходному наблюдению в поисках достаточно убедительных аргументов. В последней таблице в ряду исходных чисел и в ряду их квадратов четные и нечетные числа чередуются. Иными словами,
четное2 = четное;
нечетное2 = нечетное.
Разность между четным и нечетным числом всегда будет нечетной:
четное — нечетное = нечетное;
нечетное — четное = нечетное.
Можно сделать вывод: разность между последовательными квадратными числами всегда будет нечетной. Должны ли мы принять этот вывод как окончательный?
Несомненно, мы совершенно убеждены в его истинности. Но выполнено ли это доказательство по всем правилам? Многие считают, что алгебраическое доказательство — более убедительное и независимое, чем интуитивное.
Пусть n — произвольное натуральное число. Следующим за ним, по определению, является n + 1. Возведем оба этих числа в квадрат и вычислим их разность:
(n +1)2 — n2 = n2 + 2n + 1 — n2 = 2n + 1.
Число 2n + 1 всегда будет нечетным, так как 2n четное для любого n. Следовательно, разность между квадратами соседних чисел всегда будет нечетным числом. Более того, последовательность разностей будет представлять собой последовательность всех нечетных чисел вида 2n + 1.
Те, кто полагает, что эти рассуждения более убедительны и их можно с большей уверенностью принять в качестве окончательного доказательства нашей гипотезы, могут посмотреть на них еще раз и убедиться, что они тождественны геометрическим рассуждениям, приведенным выше. Привычное использование n для обозначения любого натурального числа как бы уводит нас в сторону от интуитивно понятного геометрического доказательства, которое раскрывает суть проблемы.
Тот факт, что разность между (n + 2)2 и n2 равна 2n + 1, доказывает истинность гипотезы, а геометрическое доказательство помогает понять это. О подобном говорил Херш: формулу 2 + 2 = 4 можно доказать, применив аксиоматику и правила формальной логики, однако истинная причина убедительности этой формулы в том, что ее можно подтвердить, просто переставляя камни. На следующей схеме вкратце описан путь, по которому мы должны идти в математическом творчестве к его конечной цели — объяснению явлений.
Логика подчиняется аксиомам и правилам, созданным много лет назад. Основой ее является сам образ наших мыслей. Формалисты сводят математику к последовательностям символов, которые подчиняются законам логики. Однако философский взгляд на математику, о котором идет речь на страницах этой книги, состоит в ином.
Да, логика лежит в основе аргументации и проверки математических выводов, однако для совершения открытий одной логики недостаточно. Математическое творчество выходит за рамки логики. Примером этому является теорема:
Всякая степень двойки является четным числом.
Такие утверждения могут быть абсолютно логичными, но не будут содержать ничего нового ввиду своей очевидности. Их нельзя считать продуктом творчества.
Применение правил логики для получения новых истинных высказываний из уже известных — это не творчество. Это может сделать даже компьютер. Творчество подразумевает отбор или поиск значимых результатов. Оно отвечает на вопросы, возникающие в социальном и культурном контексте, который машина не способна учесть. Идеи и теории выдвигают не машины, а люди. Логика подобна сборочному конвейеру, запрограммированному на производство определенной машины. Но математика — нечто большее, чем промышленное производство. Более того, некоторые теоремы, созданные людьми, возможно, никогда не смогла бы получить машина.
Также не стоит забывать о том, что творчество означает ответственность. Всякое творчество имеет свои последствия, как, например, тогда, когда его стимулом является желание сохранить согласованность системы. Именно это произошло с правилом знаков: