Британский математик Эндрю Уайлс очень хорошо описал, что чувствует математик начиная с того момента, когда сталкивается с задачей, которую не может решить, и до того момента, когда он находит решение:
«Наверное, лучше всего описать мои занятия математикой можно по аналогии с темной комнатой. Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаете, где что стоит. Наконец, месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где находитесь».
Не все обладают столь выдающимися способностями, как Уайлс, который смог доказать великую теорему Ферма, неподвластную математикам всего мира в течение более трех столетий. Однако, быть может, великим математикам известны какие-то общие схемы или способы решения задач и доказательства теорем?
Первое правило творчества заключается в том, что нужно осмелиться войти в темную комнату. Встречаясь с незнакомой задачей, многие недооценивают свои способности. Нужно набраться смелости и быть готовым натыкаться на стены и мебель в темноте. Совершенные ошибки только помогут вам, хотя в это непросто поверить и об этом математики и преподаватели обычно умалчивают. Натыкаясь на мебель в темноте, вы постепенно узнаете, где что стоит. Вы не можете видеть шкаф, но представляете, как он выглядит и сколько в нем полок. В этот момент вы понимаете, с чем столкнулись, и можете четко сформулировать задачу. И хотя снаружи по-прежнему темнота, ваши мысли озаряет свет.
Краткий итог
Каковы особенности математического творчества? Творить математику означает, прежде всего, иметь необходимые идеи, чтобы прокладывать пути к новым формулам, теоремам и методам, которые постепенно позволят понять интересующие нас события и явления.
«Эврика!» Архимеда — тот момент вдохновения, описанный Пуанкаре, который многие называют «счастливым озарением», является лишь частью творчества. Это вдохновение приходит не случайно — оно является результатом длительного и упорного труда, а в психологии понимается как часть творческого процесса.
Эвристика, искусство изобретать и совершать открытия, описанное Дьёрдем Пойа и Имре Лакатосом, — путеводитель в мире математического творчества. И логика, которая сама по себе не творит, необходима в этом мире, особенно на таком важном этапе, как проверка правильности гипотезы.
Великие математические открытия неизменно сопровождаются кризисами и влекут значительные изменения, которые помогают преодолевать кризисы. Развитие знаний предполагает изменение сложившейся парадигмы, так как новые понятия обычно выглядят «чудовищно» и требуют глубокого пересмотра всего, что уже известно. В качестве примера можно привести степени с отрицательным показателем, квадратный корень из 2 и квадратные корни из отрицательных чисел. С созданием альтернативных геометрий геометрия Евклида перестала занимать привилегированное положение. Последней из альтернативных геометрий стала фрактальная геометрия, созданная во второй половине прошлого века благодаря развитию технологий.
Раньше багаж математика был очень легким — достаточно бумаги и карандаша, но теперь во многих разделах науки не обойтись без компьютера.
Чтобы обычный человек смог понять суть математического творчества, ему стоит применить математические методы и понятия для анализа различных событий повседневной жизни, явлений из сферы искусства, литературы или рабочих ситуаций. Взгляд в зеркало или в сторону горизонта побуждают творить формулы и определять отношения, помогающие лучше понять мир. Ни одну из этих формул нельзя считать результатом открытия — она не находилась по другую сторону зеркала и не была погребена в песке. Эти формулы родились благодаря нашему воображению, способному моделировать реальность в виде множества геометрических фигур.
Без нас не было бы ни формул, ни горизонта.
В этой книге мы привели примеры задач, с которыми сталкиваются художники и ремесленники. Произведения и тех, и других часто должны обладать достаточной геометрической точностью, поэтому, например, орнаментальная вязь, которая часто встречается в декоративно-прикладном искусстве, изображается поверх квадратной сетки. Ключ к задаче о циклических, или бесконечных кельтских узлах, которые являются частью кельтской культуры, связан с делимостью чисел. Не теорема помогла создать узлы — напротив, узлы помогли сформулировать теорему.