Портрет Давида Гчльберта, 1912 г.
* * *
На третьей стадии математик работает совершенно сознательно и тщательно анализирует идеи, принимая одни и отбрасывая другие. Он может вернуться один или несколько раз ко второй стадии, пока не решит проблему окончательно, следуя правилам и соглашениям, принятым в математике, так чтобы решение имело законченный вид.
Для совершения математического открытия важны все три этапа, но особенно интересен второй: именно на этой стадии мысль парит, вырвавшись из плена сознания. Жак Адамар посвятил одну из своих книг, «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945), изучению роли подсознания в творческой деятельности, концентрируясь в основном на работе математиков. В книге описывается процесс математических исследований, который начинается с сознательного выбора наиболее важных аспектов проблемы, чаще всего после получения промежуточных результатов. Адамар думал, что за этим периодом должен следовать «период отдыха», когда задачу откладывают в сторону, а затем следуют моменты вдохновения, являющиеся результатом мыслительных процессов, протекающих в подсознании математика.
Наконец, Адамар говорит о так называемом этапе «наведения порядка», когда вступает в свои права формальный подход. Адамар считал, что работа подсознания имеет решающее значение на протяжении всего процесса, особенно в период «отдыха».
Анри Пуанкаре был ученым, который проявил себя во всех областях математики.
Выводы Адамара согласуются с рассуждениями Пуанкаре, хотя последний придает большее значение периоду отдыха, включающему периоды сна. В истории науки, и особенно в истории математических открытий, существует множество свидетельств того, что многие ключевые идеи приходили к ученым во время сна. Некоторые исследователи сообщают, что прорыв в их работе произошел во сне, в котором они размышляли над какой-то проблемой. Большинство ученых говорят, что решение пришло сразу после пробуждения, особенно после напряженной работы накануне. Например, Дирихле признавался, что перед сном клал под подушку «Арифметические исследования» Гаусса. Он знал, что во время сна будет происходить таинственный процесс, который нельзя контролировать, но благодаря которому на следующий день он сможет осознать неясные места книги — те, что не мог понять накануне.
Все это часть волшебного мира чисел, с которым мы познакомились в предыдущих главах. Следует еще раз подчеркнуть, что это не магия в обычном смысле слова.
Магические ритуалы и церемонии были изначально и традиционно предназначены для выявления скрытых истин. Однако ритуалы, верования или даже процесс воображения приводят ум в особое состояние, в котором он свободен от ограничений физического мира и может думать по-другому. Как если бы мы переключились на другую полосу радиочастот и оказались в состоянии принимать новые сигналы с помощью того же радиоприемника.
Наш мозг хранит информацию, но существует множество способов ее упорядочить. В качестве примера можно привести одного математика из Индии, чьи ум и воображение работали одинаково хорошо. Говорят, Рамануджан с легкостью проходил через вторую стадию, описанную Пуанкаре и Адамаром, но имел серьезные трудности с третьей. Ему просто не хватало специальной математической подготовки, чтобы формализовать свои доказательства в соответствии с принятыми соглашениями. Другими словами, Рамануджан мог видеть результаты, но ему было трудно доказать их так, чтобы математическое сообщество сочло доказательства удовлетворительными. Рамануджан не стал легендой, не успел за свою короткую жизнь прославиться как математический гений, и его труды не слишком хорошо документированы. Несмотря на бедность и недостаток образования, он был одним из наиболее выдающихся математиков своего времени и, возможно, величайшим математиком Индии.
Рамануджан родился 22 декабря 1887 г. в бедной семье в небольшом городе Эрод в 400 км от Мадраса. В возрасте семи лет он получил грант, который позволил ему посещать занятия в школе в Кумбаконам. Там он проявил экстраординарные способности в запоминании чисел и выполнении сложных арифметических действий. Например, он знал наизусть сотни десятичных знаков постоянной π и квадратного корня из двух. Его первым учебником математики была книга Джорджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики». Эта почти не содержавшая доказательств книга была практически непонятна, особенно для мальчика, не имеющего специальной математической подготовки. Рамануджану было всего 15 лет, когда он, по мнению биографов, начал серьезно заниматься математикой.