Имеем:
Следовательно, формулы преобразования координат записываются так:
Те же соотношения, что выводятся с помощью матрицы преобразований, можно получить по формулам сферической тригонометрии Бесселя, рассмотрев треугольник «полюс-зенит-звезда», изображенный на иллюстрации на следующей странице.
На протяжении многих лет астрономы использовали этот треугольник для вычисления положения звезд. Так как ранее в их распоряжении не было ни компьютеров, ни других вычислительных машин, инструментами служили логарифмы и логарифмические таблицы. В этих таблицах приводились значения логарифмов для тригонометрических функций, аргументы которых выражались в градусах, минутах и секундах. Сферический треугольник «полюс-зенит-звезда» по-прежнему широко используется в сферической, или позиционной, астрономии, так как он содержит всю информацию, представленную на иллюстрации на предыдущей странице. Следует учитывать, что сторонами этого треугольника являются дуги большого круга небесной сферы. Следовательно, их длина измеряется в градусах, однако, по традиции, часовой угол и прямое восхождение отсчитываются в часах, минутах и секундах. Перейти от часов к градусам очень просто — достаточно учесть, что 360° эквивалентны 24 часам, или, что аналогично, 15° эквивалентны 1 часу.
Треугольник полюс — зенит — звезда.
Глава 2. Вычисления расстояний в системе «Земля — Луна — Солнце», выполненные Аристархом Самосским
Аристарх Самосский (310 год до и. э. — 230 год до н. э.) определил отношения между расстояниями и радиусами небесных тел в системе «Земля — Луна — Солнце». Он вычислил отношение между радиусом Солнца и радиусом Луны, между расстоянием от Земли до Солнца и расстоянием от Земли до Луны, а также определил отношение радиуса Земли ко всем этим расстояниям. К сожалению, исследователь не смог рассчитать значение радиуса нашей планеты и вычислить абсолютные значения всех остальных радиусов и расстояний. Радиус Земли определил Эратосфен несколько лет спустя. Применив современную нотацию (и современные значения), мы покажем, как действовал Аристарх Самосский, и предложим читателю повторить его эксперимент. Вы убедитесь, что, проведя необходимые наблюдения, нетрудно получить те же результаты, что и древний мыслитель.
Отношение расстояний между Землей и Луной и Землей и Солнцем Аристарх Самосский определил, что угол, под которым с Земли виден отрезок, соединяющий Солнце и Луну, когда Луна находится в первой четверти, равен 87°.
Сегодня мы знаем, что он допустил ошибку — возможно, потому, что определить точный момент, когда Луна находится в первой четверти, очень сложно. Реальное значение этого угла равно 89°51’, в остальном же метод Аристарха Самосского полностью корректен. Обозначим через TS расстояние от Земли до Солнца, через TL — расстояние от Земли до Луны. Так как sin (9’) = TL/TS, имеем:
Аристарх Самосский вычислил, что TS = 19 TL.
Расположение Луны в первой четверти относительно Земли и Солнца.
Отношение между радиусом Луны и Солнца
Отношение между радиусом Луны и Солнца должно рассчитываться по формуле, похожей на указанную выше, так как при наблюдении с Земли диаметры Луны и Солнца равны 0,5°. Следовательно, выполняется соотношение:
Rs = 400Rl.
Отношение между расстоянием от Земли до Луны и радиусом Луны или между расстоянием от Земли до Солнца и радиусом Солнца
Так как диаметр Луны при наблюдении с Земли равен 0,5°, отложив его 720 раз, можно полностью покрыть орбиту Луны (предполагается, что она имеет форму окружности). Длина ее орбиты в 2π раз больше расстояния от Земли до Луны, то есть 2RL ∙ 720 = 2πTL. Выразив из этой формулы TL, имеем:
Проведя аналогичные рассуждения и предположив, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности радиуса TS,