Если даже ученым было трудно представить пространства с более высокими размерностями, то обычным людям требовалось гораздо больше времени и усилий, чтобы понять это, и обычно это происходило на интуитивном уровне. Революция в геометрии XIX в., которая, как мы увидим в следующей главе, вышла за рамки простых обобщений пространств с более высокими размерностями, была ключевым моментом для науки и общества и означала вступление в мир многомерных пространств.
В двух предыдущих разделах мы уже затрагивали вопрос о различии физического и математического пространства, но не углублялись в детали.
Для физиков и других ученых понятие пространства тесно связано с понятием действительности, но для математиков это не совсем так. Вопрос «Существует ли четырехмерное пространство?» имеет различный смысл в зависимости от того, кто его задает. Для физиков этот вопрос звучит так: «Существует ли реальное четырехмерное пространство?» Ответ, конечно, отрицательный, если под реальным пространством имеется в виду наблюдаемый физический мир.
Таким образом, когда речь идет о четвертом измерении, физики имеют в виду четырехмерное пространство-время. Однако для математиков этот вопрос означает: «Существует ли концепция четырехмерного пространства?»
В конечном итоге это различие связано с самой сущностью математики и ее подходом. Математики не только изучают физический мир, который нас окружает, но и способны абстрагироваться от него и перенестись в мир идей, концепций и математических структур, в котором физический мир является лишь небольшой его частью или совсем отсутствует. Математики работают в этом мире идей, получая абстрактные результаты, общие понятия, создавая новые формы и инструменты. Несмотря на огромное расстояние между реальностью и математикой, эта наука успешно применяется в реальном мире. Венгерский математик и физик Юджин Вигнер (1902–1995), лауреат Нобелевской премии по физике, говорил о «необъяснимой эффективности прикладной математики в естественных науках». Математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюман в своей знаменитой книге «Математика и воображение» (1989) использовали другую метафору: «Математик — это портной, служащий благородному сословию наук. Он шьет всевозможные костюмы для всех, кто только пожелает их носить».
В этом смысле математики естественным образом работают с многомерными пространствами, не ограничивая себя физической реальностью. Для них математические понятия существуют, если только они не являются логически противоречивыми. Вот почему, когда математики говорят о четырехмерном пространстве, им не нужно обязательно думать о пространстве-времени или о четвертом пространственном измерении.
* * *
РАЗМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ
Наши чувства говорят нам, что мы живем в трехмерном пространстве, а если мы добавим время, то можно считать, что наша Вселенная является четырехмерной. В настоящее время физики работают над теорией струн, которая предполагает, что наша Вселенная может существовать в пространстве более высоких размерностей: 10,11 или даже 26. Но размерности эти существуют в субатомных масштабах, поэтому они — вне нашей способности воспринимать их. Многие из нас не в состоянии даже представить их! Интересно, что Чарльз Хинтон уже в конце XIX в. говорил о такой возможности, излагая теорию четвертого измерения.
Теория струн до сих пор не доказана экспериментально, хотя уже произвела глубокую научную и философскую революцию. Ее противники утверждают, что ее невозможно полностью проверить и, следовательно, в действительности она вообще не является научной теорией. Это один из вопросов, на который может пролить свет Большой адронный коллайдер, построенный в ЦЕРНе.
В области математической физики важность работы с многомерными пространствами уже давно стала очевидной. Французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) в своей книге «Аналитическая механика» рассматривал механику в терминах многих координат (степеней свободы), включая время как отдельную координату. Впоследствии ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) переписал уравнения механики для многомерных пространств.
Давайте рассмотрим следующий пример. Нам нужны четыре координаты для описания положения колеса, которое без скольжения движется вперед по поверхности: две координаты для описания точки касания колеса с поверхностью, одна — для угла поворота, и еще одна — для угла вращения вокруг продольной оси. Это делает пространство положений колеса четырехмерным. Если мы добавим движение, нам придется ввести еще четыре координаты для скорости. Таким образом, пространство положений колеса, движущегося по поверхности, имеет восемь измерений.
Эта диаграмма показывает, что пространство положений колеса, которое катится без скольжения по плоской поверхности, имеет четыре измерения. Координаты точек — х, у, α, Θ. Первые две, х и у, описывают точку касания колеса с плоскостью. Угол α является углом вращения вокруг продольной оси, а Θ — углом поворота.
Большинство областей науки (физика, астрономия, экономика, биология, медицина, машиностроение и многие другие) используют многомерные пространства.
Значение такого подхода заключается в том, что он позволяет нам оперировать геометрическими и математическими инструментами для получения полезной информации по изучаемому объекту или для выявления его интересных применений. Рассмотрим два ярких примера, которые показывают полезность этих методов в нашей повседневной жизни.
Шифрование сообщений
Мобильные телефоны, интернет, цифровые телевизоры, музыкальные компакт-диски, фильмы на DVD, цифровая идентификация — все это зависит от шифрования данных и их последующей расшифровки. В этом процессе обнаружение и исправление ошибок является важным элементом.
В наш цифровой век шифрование сообщений, будь то изображение, музыка или текст, требует перевода информации в последовательности нулей и единиц. Это называется двоичным шифрованием (каждый 0 или 1 называется бит — сокращение от английского выражения «двоичная цифра»). Такие последовательности делятся на «слова» фиксированной длины, которую мы обозначим k. Строки из 4 бит (содержащие 4 цифры) называют шестнадцатеричными цифрами. Всего существует 24 = 16 таких цифр, а строки из 8 бит называются байтами (их 28 = 256 штук).
Кодировка ASCII содержит 256 возможных кодов для выражения различных символов, другими словами, с помощью этих кодов можно закодировать 256 печатных символов. Бит каждого «слова» можно рассматривать как координату, хотя она принимает только значения 0 и 1. Каждое «слово» из k бит представляет собой точку в координатном пространстве размерности k, другими словами, количество размерностей равно длине слов. Например, шестнадцатеричное слово ООН отождествляется с точкой (0, 0, 1, 1) четырехмерного координатного пространства. В этом пространстве можно задать расстояние — способ измерения, насколько далеко друг от друга находятся точки (двоичные «слова») этого геометрического пространства.
Например, так называемое расстояние Хэмминга между двумя словами определяется количеством цифр, которыми эти слова различаются (так, слова ООН и 1011 находятся на расстоянии 1). В этом координатном пространстве мы можем использовать все математические инструменты арифметики, алгебры, анализа и геометрии.