В геометрии точки пространства связаны с группами чисел, называемых координатами. Тем самым каждому геометрическому факту соответствует аналитическая формула, теорема. Существенная особенность математики заключена не в числах, а именно в идее координации, согласованности[25]. В математике есть весьма обобщённые и фундаментальные доктрины вроде теории групп, где числа играют лишь незначительную роль. В физике первым собственно физическим (не чисто механическим) открытием явилось то, что можно назвать идеальным примером соотнесения. Это было открытие Пифагором числовых отношений, характерных для музыкальных интервалов; октава, квинта, кварта и т. д. соответствуют отношениям длин звучащей струны 2:1, 3:2, 4:3 и т. д. Имеется в действительности парное соответствие между слуховым, зрительным или мускульным восприятием (музыкальные интервалы, длина струны) и числами.
Измерение интенсивности нагрева (температуры) термометром является процессом соотнесения ощущения тепла с геометрической величиной (длиной столбика ртути, положением стрелки гальванометра), а тем самым — опять с числом (значением на шкале).
Химия соотносит вещества с комбинациями символов, представляющих собой сокращённые обозначения названий элементарных субстанций (атомов). Историческим корнем этой процедуры служит тот факт, что соотнося атомные веса с символами элементов, можно узнать молекулярные веса — по комбинациям атомных символов для данной молекулы, а соотнесение валентности с символами атомов даёт возможность предсказывать химические реакции. Позднее этот элементарный метод описания химической связи сделался составной частью общей атомной теории.
Указанное нами соответствие чувственных восприятий и символов устанавливается в любой области опыта.
Для нужд обыденной жизни этого достаточно: слова и выражения языка, высказанные или написанные, соответствующие ощущениям, эмоциям и т. п., заучиваются и используются без дальнейшего углублённого анализа (наивный реализм). Именно таким образом отображение мира формируется в сознании обычного человека, а художественная литература подаёт всё это в изящной форме.
Наука совершает следующий шаг. Не знаю, имеет ли силу то, что я собираюсь сказать, для всех точных и гуманитарных наук. Я имел намерение высказаться лишь о тех точных науках, с которыми знаком, в которых используются математические символы, причём символы эти играют специфичную роль: они раскрывают структуры.
Математика как раз и представляет собой обнаружение и исследование структур мышления. Эти структуры зашифрованы в виде математических символов. Простейшим математическим объектом является ряд целых чисел 1, 2, 3 ..., состоящий из символов, которые можно комбинировать по определённым правилам — арифметическим аксиомам. Наиболее важным является правило внутреннего соотнесения: для каждого целого числа существует такое, которое за ним следует[26]. Правилами этими определяется огромное число структур, например простые числа с их замечательными свойствами и сложным распределением, теорема взаимности квадратичных вычетов и т. д. Геометрия должна оперировать с пространственными структурами, которые аналитически выступают в виде инвариантов преобразований. В теории групп дело имеют со структурами, которые возникают при повторении определённых наборов операций, таких, как перестановки (букв и др.) или операции симметрии наподобие вращений, зеркальных отражений и др.
Перечисленные структуры являются структурами чистого мышления. Переход к реальности совершается теоретической физикой, которая коррелирует символы с наблюдаемыми явлениями. Там, где это может быть сделано, зашифрованная структура соотносится с явлением; эти же самые структуры рассматриваются физиками как объективная реальность «по ту сторону субъективных явлений».
Описать всю эту процедуру с её бесконечным многообразием невозможно. Остаётся подчеркнуть один исторический момент: со времён Ньютона упомянутые структуры представляют в виде дифференциальных уравнений, ими пользуются, к ним привыкли. Дело в том, что структуры эти позволяют осуществлять непосредственную связь с результатами экспериментирования на обычных объектах повседневной жизни. Механика Галилея начиналась именно с таких экспериментов. Затем Ньютон обобщил понятия механики таким образом, что они стали применимы к небесным телам. В первых оптических теориях использовались механические модели. Пространство предполагалось заполненным некоторой субстанцией, называемой эфиром — носителем колебаний, в соответствии с законами механики. Даже Максвелл открывал и популяризировал свои уравнения поля вначале именно при помощи образа скрытых механизмов. Механические модели использовались и в ранний период создания атомной теории, как и в кинетической теории газов, где атомы считались маленькими упругими шариками, которые отталкиваются друг от друга и от стенок контейнера.