Это одна из наиболее важных и трансцендентальных интерполяций в истории физики; она обнаруживает почти сверхъестественную физическую интуицию.
Макс Борн о формуле излучения, открытой Планком
С самого начала Планку не хватало важных элементов, которые позволили бы понять, что происходит внутри печи.
Например, на тот момент, когда Планк решил обратиться к задаче, о существовании нейтронов и протонов было еще неизвестно. Электроны вошли в физику лишь за три года до этого, в 1897 году.
Планк мог опираться на два важных достижения физики XIX века — термодинамику и электродинамику Максвелла. Шотландский математик заявил, что колебание электрического заряда генерирует электромагнитные волны — именно так работают антенны, которые произвели настоящую революцию в мире телекоммуникаций (сегодня нас окружают микроволны, испускаемые нашими мобильными телефонами).
В радиоантенне электромагнитная волна приводит в движение электроны, которые встречает на своем пути. Таким образом, стенки печи взаимодействуют с излучением благодаря возвратно-поступательному движению электронов. Последние остаются в своих атомах и колеблются вокруг фиксированных точек. В статье Планк не упоминает ни об электронах, ни о материи и говорит только о «колебании» (осцилляторе, генераторе колебаний).
Пустая и остывшая печь не испускает никакого излучения. Нагревание системы мгновенно вызывает возбуждение электронов и испускание электромагнитных волн. Эти волны распространяются, пересекают пространство печи и в конечном счете сталкиваются с другими стенками и другими электронами, при этом ведут себя как принимающие и излучающие антенны. Взаимодействие между светом и материей началось. Через некоторое время достигается стабильная ситуация: печь наполняется излучением, разделенным на разные частоты в зависимости от уже упомянутой спектральной кривой.
Планк стремился показать, что как только будет достигнуто равновесие, подтвердится второй закон термодинамики. Каким бы изменениям ни подвергалась печь, энтропия в конечном итоге со временем возьмет верх. Таким образом, ученому необходимо было определить все микроскопические конфигурации, связанные с каждым макроскопическим состоянием системы, присвоить каждой конфигурации вероятность и отыскать наиболее вероятную (с максимальной энтропией). В этот момент научная решительность Планка заставила умолкнуть его предрассудки. У него не было иного выбора, кроме как применить статистическую интерпретацию Больцмана и идею о том, что вероятность каждого состояния пропорциональна числу микроскопических конфигураций, совместимых с этим состоянием. Он также воспользовался другой находкой венского физика для расчета вероятностей.
Для вычисления энтропии можно прибегнуть к двум типам переменных: дискретным или непрерывным. Если мы решим выделить группу из 20 зрителей в кинозале, то увидим, что места, которые они могут занимать, ограничены. Каждый зритель занимает конкретное место, и на плане зала каждая смена места выражается резким скачком. В этом случае мы говорим о дискретной переменной. Но если мы должны выделить в коробке группу из 20 молекул, вариантов их расположения безграничное множество. Чтобы изменить положение, молекулам не нужно делать резких скачков: им достаточно переместиться на сколь угодно малое расстояние, и это уже будет новое положение.
С математической точки зрения работать с дискретными переменными гораздо удобнее, чем с непрерывными. Идея
РИС. 5
РИС. 6
РИС. 7
Больцмана заключается в том, чтобы взять непрерывное пространство и представить его как дискретное. Возьмем, к примеру, ограниченную квадратом поверхность, как показано на рисунке 5.
В ограниченном пространстве число позиций, которые может занимать частица, бесконечно. Как в таком случае их учитывать? Достаточно нанести сетку и считать, что все точки, лежащие в одной клетке, занимают одно и то же положение (рисунок 6).
Можно пронумеровать состояния, как места в кинозале, и сосчитать их. Чем тщательнее процесс выборки, тем точнее будет приближение (рисунок 7).
Когда площади клеток стремятся к нулю (□—>0), мы возвращаемся в наше непрерывное пространство с бесконечным числом точек. Таким образом, при работе с непрерывными переменными стратегия состоит в том, чтобы выбрать диапазон вероятностей и установить математическую структуру для учета состояний и определения вероятностей. Затем сетка удаляется, и происходит переход дискретного вычисления в непрерывное.
Изучая проблему печи, Планк должен был распределить доступную энергию между осцилляторами стенок и внутренним излучением. Чтобы провести расчеты, он решил выразить энергию в дискретных фрагментах: ε = h • v, где h — константа, a v — частота излучения.
Определяя вероятность каждого положения и устремляя h к нулю, он восстанавливал непрерывное пространство и добивался желаемого результата. Однако еще до достижения последнего этапа, в то время как энергия оставалась дискретной, Планк уже пришел к правильной формуле излучения. Что случилось бы, если бы он захотел идти до конца? Тогда он получил бы результат, согласно которому энергия стремилась бы к бесконечности. На практике это означало бы, что при открывании печи из нее вырвалась бы смертельная вспышка ультрафиолетовых лучей,— так гласила классическая физика.
Но уменьшить h до бесконечности было невозможно. Кроме того, в соответствии с уравнением излучения и при сравнении теоретической и экспериментальной кривых постоянная в конечном итоге достигла определенного значения, которое не уменьшалось: 6,62 • 10-34 Джс. Другими словами, осциллятор, вынужденный совершать колебательные движения вперед и назад, за 1 секунду приобретает энергию, равную 6,62 • 10-34 Дж. Речь идет о совершенно незначительном количестве энергии: 1 Дж позволяет поднять небольшое яблоко весом около 100 г на высоту 1 м.
Вскоре Эйнштейн назвал каждый из этих фрагментов энергии квантом, а сам процесс фрагментации — квантованием. Так родились первые термины герметичного языка квантовой физики — термины, которые дали ей имя. Константу h назвали постоянной Планка, в честь создателя. Она играет роль датчика, показывающего, с какого масштаба учитывается прерывистость энергии. Дискретизация, возникающая при этом, чрезвычайно тонкая, наши органы чувств не отличают ее от непрерывности — и это объясняло, почему дискретная природа энергии до сих пор оставалась незамеченной, хотя и вовсе не уменьшало растерянности Планка. Когда мы встаем и начинаем бежать, то считаем, что наша кинетическая энергия начинает расти с нулевого значения непрерывно, а не рывками, пусть даже ничтожными и малозаметными. Подобная идея противоречит классическому духу.
Много лет спустя, в 1931 году, Планк вспоминал эту ситуацию словами:
«...могу охарактеризовать всю процедуру как акт отчаяния, так как по своей природе я миролюбив и не склонен к сомнительным авантюрам. Однако я уже бился шесть лет (с 1894 года) над проблемой равновесия между излучением и веществом без каких бы то ни было успехов [...] требовалось найти любой ценой теоретическую интерпретацию, однако эта цена могла быть высокой».
Квантование энергии так беспокоило Планка, что он пытался ограничить его и замкнуть в конкретном случае. Ученый предпочел сказать себе, что это был побочный эффект, связанный со специфическим механизмом взаимодействия осцилляторов. Можно провести параллель с ведром, которое используют для поднятия воды из колодца. Количество воды, извлеченной из колодца, кратно объему ведра, но перемещаемая жидкость (энергия) непрерывна и за пределами сосуда может быть представлена любой величиной.