Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем нет места пятому постулату Евклида [3].
На вопрос оператора «Трехмерен ли мир?» Высшая духовная Сущность ответила: «Мир многомерен. Понятие трех изменений – это представление людей. Вспомним голографию. Возьмем любой предмет, хотя бы куб, и представим его голограмму, но не со стороны, а как бы войдя внутрь ее». А на вопрос «Как можно представить четвертое и пятое измерения?» был получен ответ: «Возьмите матрешку, посмотрите на нее со стороны верхнего слоя, а затем представьте первый слой прозрачным и т. д. Но это взгляд с одного ракурса. То же можно сделать и со стороны верхней части, и со стороны донца».
Геометрия Римана
Бернхард Риман родился в 1826 году, как раз в тот год, когда Лобачевский в Казани обнародовал свою геометрию. Кстати, Ньютон родился в год смерти Галилея. А Эйнштейн – в год смерти Максвелла.
Риман, который, как оказалось, не был знаком с трудами Лобачевского, создал огромный, неизвестный ранее человечеству мир математических пространств, или, по его терминологии, многократно протяженных многообразий, и каждое из них должно было обладать своей собственной геометрией.
Потребовалось установить строение каждого пространства, то есть найти геометрию, ему присущую, научиться строить в нем фигуры и измерять их, иными словами, требовалось установить метрику. Риман предложил общий универсальный принцип: метрические отношения следует искать и фиксировать в бесконечно малой области пространства. Проще говоря, пространство надо мерить бесконечно малыми шагами. Именно в бесконечно малой области действуют более простые законы и более явственно обнажается суть явления и его особенности, характерные для данного момента времени и данной точки пространства [4].
Риман был убежден, что для всех явлений природы, в том числе и для тяготения, взаимодействие на больших расстояниях должно быть следствием микровзаимодействий, то есть процессов, протекающих в соседних бесконечно малых элементах пространства.
Точно суть работы Римана выразил советский геометр Каган, сказав: «Риман расщепил пространство на бесконечно малые элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента разворачивается метрика всего пространства».
Выиграв в широте охвата, в общности подхода, Риман проиграл в содержании – им даны основные идеи, но детальной их проработки нет. У Лобачевского было наоборот. Он оставил нам глубокую и детальную проработку своей геометрии.
Позднее Риман решил «спуститься» к некоторым конкретным геометриям – наиболее простым, хотя на примере Лобачевского мы знаем, что простота может быть весьма относительной. Из всего этого многообразия Риман выделил простейшие многообразия – с постоянной кривизной.
Самый простой случай – когда кривизна всюду равна нулю. В одном измерении – это прямая линия, в двух – плоскость, в трех – евклидово пространство. Но кривизна может быть отличной от нуля, хотя и постоянна.
Раз кривизна постоянна, она, естественно, может быть нулевой, постоянно отрицательной и постоянно положительной.
В первом случае речь идет о пространстве Евклида, во втором – о пространстве Лобачевского, а в третьем случае при одинаково положительной кривизне – о пространстве Римана.
Причем третья постоянная положительная кривизна – это полная собственность Римана. Поэтому геометрия пространства с такой кривизной называется геометрией Римана.
В известном смысле мы достаточно часто сталкиваемся с постоянной положительной кривизной, правда, с кривизной поверхности, а не пространства. Любые шары есть поверхности постоянной положительной кривизны. Тем не менее, нам трудно вообразить себе сферическое пространство. Мир Евклида, трехмерное пространство нулевой кривизны, входит в нас при рождении.
Чтобы познакомиться с пространством Римана (с пространством постоянно положительной кривизны), возьмем в руки глобус, но отвлечемся от физической географии планеты, оставив только сетку меридианов и параллелей. Сфера – это пространство с постоянной положительной кривизной. Что представляет собой прямая линия на сфере? Если понимать прямую линию как линию нулевой кривизны, то на сфере прямых нет; любая изогнута, любая имеет кривизну. Но если прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками, то дело обстоит иначе. На сфере прямая – это часть дуги.