Зоммерфельд собирался провести 1922/1923 учебный год в качестве приглашенного преподавателя в США, в Университете Висконсина, поэтому договорился с Бором, что некоторые его студенты отправятся на один семестр в Гёттинген, чтобы продолжить там обучение и исследования. Гейзенберг должен был начать работу над докторской диссертацией. Ее темой по предложению Зоммерфельда стала непростая задача гидродинамики, не имевшая ничего общего с атомной физикой.
Гёттингенский университет был знаменит прежде всего своими математическими традициями – в разные годы в нем преподавали Гаусс, Риман и Клейн. Когда в 1921 году Макс Борн был назначен преподавателем теоретической физики, в состав университета входили институты математики, прикладной математики и экспериментальной физики, там работали такие авторитетные ученые, как Давид Гильберт, Рихард Курант, Карл Рунге, Людвиг Прандтль, Роберт Пол и Джеймс Франк. Борн сформулировал основы своей исследовательской программы спустя несколько дней после завершения встречи физиков с Бором. В краткой статье он писал:
«Возможно, прошло время, когда модели атомов и молекул были результатом полета воображения исследователя. Сегодня мы скорее строим модели с определенной уверенностью, пусть и неполной, на основе правил квантовой физики».
Борн немедленно принялся за работу со своим новым помощником, Паули.
Модель Бора была корректной только при рассмотрении простейшего случая с двумя частицами, например атома водорода (он состоит из положительно заряженного ядра и электрона) или иона гелия (состоит из отрицательно заряженного электрона и положительно заряженного ядра, заряд которого по модулю в два раза больше). В общем случае орбиты частиц можно было с точностью определить при рассмотрении задачи двух тел, но не трех и более. Без ответа оставались и другие вопросы, например почему электроны не занимают орбиту, которой соответствует минимум энергии, во всех атомах? В своей докторской диссертации Паули рассмотрел с виду простую задачу: он изучил молекулярный ион водорода, состоящий из двух положительно заряженных ядер и отрицательно заряженного электрона. Паули счел, что ядра можно считать неподвижными, и рассмотрел две системы из двух тел. Его рассуждения казались разумными, однако полученные результаты не описывали линии спектра, наблюдаемые при экспериментах.
Борн предложил новую квантовую теорию: он скрупулезно вычислил орбиты частиц, применив знания астрономии, после чего использовал правила квантовой механики. В XIX веке в астрономии была разработана теория возмущений. Согласно ей, для расчета орбит планет Солнечной системы сначала требовалось описать вращение каждой планеты вокруг Солнца без учета притяжения остальных планет, а затем необходимо было рассмотреть возмущения вычисленных орбит, внеся в расчеты ряд последовательных поправок. Этот метод оказался крайне продуктивным, так как позволил, к примеру, предсказать существование Нептуна на основе наблюдаемых отклонений орбиты Урана. Борн верил, что методы небесной механики помогут ему найти все необходимое для создания новой теории.
На встрече с Бором в Гёттингене, июнь 1922 года. Слева направо: Карл Вильгельм Озеен, Нильс Бор, Джеймс Франк и Оскар Клейн; Макс Борн (сидит).
Эйнштейн вместе с физиком- экспериментатором Питером Зееманом (слева) и другом Паулем Эренфестом, ок. 1920.
Гейзенберг около 1924 года.
Гейзенберг по меньшей мере так же талантлив, как и Паули, но более дружелюбен и приятен. А еще он очень хорошо играет на пианино.
Гейзенберг прибыл в Гёттинген в конце октября 1922 года. Известна характеристика, которую дал ему Борн: «[Он напоминал] простого крестьянина, с короткими белыми волосами, ясными блестящими глазами и очаровательным выражением лица». В институтах Гёттингенского университета регулярно проводились встречи, на которых студенты и преподаватели разных университетов обменивались последними результатами. Обстановка на этих встречах была достаточно неформальной, любой мог прервать оратора, чтобы поаплодировать удачному заключению, попросить разъяснений или обрушиться на выступающего с безжалостной критикой. Гейзенберг представил свои работы, выполненные совместно с Зоммерфельдом, и модель каркаса атома. Присутствующие уже были знакомы с этими работами, многие знали и о критике со стороны Бора. И тем не менее Гейзенберг выступил блестяще и удостоился всеобщей овации. В январе 1923 года Борн написал Зоммерфельду: «Я очень горжусь Гейзенбергом. Все мы высоко ценим его. У него невероятный талант […]».
Гейзенберг не сразу оценил программу Борна. Каждый понедельник, вечером, студенты старших курсов собирались в доме профессора для изучения небесной механики и теории возмущений. Гейзенберг считал, что на этих встречах уделялось больше внимания математике, а не физике, что было далеко от интуитивного подхода Зоммерфельда, к которому он успел привыкнуть. Однако к концу ноября Вернер написал отцу: «Лично для меня Гёттинген обладает огромным преимуществом: я одновременно изучаю и математику, и астрономию». На этих неформальных вечерах Борн и Гейзенберг часто играли на пианино – по очереди или в четыре руки. Борн был так доволен новым студентом, что отправил Зоммерфельду письмо, в котором предложил, чтобы после защиты докторской юноша вернулся в Гёттинген и там готовился к хабилитации и работал.
В феврале 1923 года Гейзенберг решил проверить границы применимости классической механики. Он рассмотрел атом гелия, один из электронов которого находился на возбужденной орбите, то есть атом, один из электронов которого находился вблизи ядра, а второй – очень далеко. Исследователь предположил, что такой атом можно рассматривать как атом водорода в возбужденном состоянии, ядро которого находится под воздействием ближайшего электрона. Однако этот подход оказался неудачным, и Гейзенберг в минуту отчаяния даже написал своему другу Паули: «Все современные модели гелия так же плохи, как и вся атомная физика».
Летом 1923 года Бор, Паули, Борн и Гейзенберг были готовы принять невозможное. Очевидные недостатки всех квантовых моделей при описании простейших атомов и молекул, за исключением атома водорода, по словам Борна, доказывали: «Были необходимы не только новые гипотезы в классическом понимании – требовалось создать целую систему физических понятий». Новую теорию Борн назвал квантовой механикой.
В мае 1923 года Гейзенберг вернулся в Мюнхен, чтобы закончить обучение и подготовить докторскую диссертацию. До этого он не уделял должного внимания курсу экспериментальной физики, который вел Вильгельм Вин. Вольфганг Паули в свое время посещал курсы Вина и Зоммерфельда одновременно: одному были посвящены четыре часа в неделю, другому – восемь. Однако Гейзенберг не проявил особого энтузиазма к экспериментальной физике и выбрал более короткую программу.
Основной интерес в курсе Зоммерфельда для него представляли дифференциальные уравнения в частных производных, которые требовались для работы над диссертацией. По просьбе службы водоснабжения Мюнхена Зоммерфельд исследовал движение воды в канализации. Диссертация Гейзенберга была посвящена теоретическому исследованию перехода от ламинарного потока к турбулентному – когда в потоке возникают завихрения. В 1880 году английский ученый Осборн Рейнольдс эмпирически обнаружил, что этот переход определяется сочетанием вязкости жидкости, скорости потока и его геометрическими характеристиками. При превышении этими величинами определенного значения возникает турбулентность. Гейзенбергу удалось подтвердить результаты Рейнольдса с помощью различных хитроумных приближений и упрощений.
Для получения докторской степени нужно было успешно сдать два экзамена. На первом испытании требовалось представить результаты исследовательской работы и ответить на вопросы экзаменаторов. С этим Гейзенберг справился без труда. Зоммерфельд подготовил необходимую характеристику, в частности он писал: «Гейзенберг вновь доказал свои выдающиеся способности: полное владение математическим аппаратом и четкое видение физики» и «Я не предложил бы столь сложную тему никому другому из моих учеников».