На языке математики электрон в атоме описывается волновой функцией, обозначаемой греческой буквой (пси). Эта функция является решением дифференциального уравнения в частных производных, которое называется уравнением Шрёдингера.
Возможно ли, что природа столь абсурдна, как нам кажется во время экспериментов по атомной физике?
Этим вопросом часто задавался Гейзенберг после обсуждения квантовой механики с Бором.
Эйнштейн написал Шрёдингеру такие строки: «Я убежден, что вы, предложив свою формулировку квантового состояния, совершили решающий прорыв, равно как я убежден в том, что метод Гейзенберга – Борна ошибочен». Однако Эйнштейн оказался неправ: сам Шрёдингер отмечал, что матричная и волновая механика с математической точки зрения абсолютно эквивалентны, несмотря на различия в предпосылках, идеях и методах. В матричной механике электрон считается частицей. Классические непрерывные переменные в ней заменялись матрицами, зависящими от двух целочисленных индексов, а классические уравнения замещались алгебраическими. Волновая механика – это, напротив, теория непрерывного, в которой электрон рассматривается как волна. Динамическое уравнение – это уравнение в частных производных, содержащее загадочные квантовые условия старой классической квантовой теории. Однако и матричная, и волновая механика приводили к одинаковым результатам. Как подчеркнул Шрёдингер, превосходство одной теории над другой было «по сути, второстепенным вопросом, связанным с удобством вычислений».
Эквивалентность матричной и волновой механики независимо друг от друга доказали два физика: Паули ограничился тем, что сообщил об этом Йордану в письме, а американский физик Карл Эккарт опубликовал свое доказательство в научном журнале. Подобное часто происходило в науке: когда несколько ученых одновременно работают над одной задачей, они могут найти решение независимо друг от друга и даже предложить совершенно разные формулировки основной идеи новой теории. И действительно, за короткий период было создано несколько различных формулировок квантовой механики. К примеру, необычные правила умножения, описанные Гейзенбергом, в которых результат зависит от порядка множителей, привлекли внимание английского физика Поля Дирака, который сразу же увидел в них аналогию со скобками Пуассона – одним из способов записи классических уравнений движения. На основе этой аналогии Дирак разработал собственную квантовую механику. Борн получил копию рукописи Дирака вскоре после того, как Гейзенберг и Йордан завершили строгое описание матричной квантовой механики. «Я прекрасно помню, что это стало одним из величайших сюрпризов во всей моей научной работе». И действительно, многие результаты, полученные в Гёттингене, Дирак вывел совершенно иначе. Спустя некоторое время, в 1926 году, Дирак и Йордан, вновь независимо друг от друга, разработали более общую формулировку, в которой состояния и наблюдаемые величины описывались соответственно с помощью векторов и операторов в рамках гильбертового пространства. Матричная и волновая формулировки представляли собой частные случаи этой абстрактной концептуальной схемы. Позднее, в 1942 году, Ричард Фейнман в своей докторской диссертации представил еще одну формулировку квантовой механики, в которой одновременно рассмотрел все возможные траектории, вдоль которых следует частица при перемещении из одной точки в другую. Как видите, фундаментальные физические законы могут быть сформулированы разными, но полностью эквивалентными способами.
Шрёдингер считал, что его волновая механика поможет разрешить проблему квантовых скачков. Для него волновая функция электрона в атоме водорода должна была включать суперпозицию волн с очень близкими частотами, которые на техническом языке называются волновым пакетом. Объем, связанный с этим пакетом, должен был в некотором роде соответствовать размеру электрона. Шрёдингер был убежден, что квантовый переход – это простой обмен энергией между двумя различными видами колебаний. Для него эта модель больше соответствовала интуитивным представлениям, чем электрон, «перепрыгивающий» с одного уровня на другой. Однако эта интерпретация была несогласованной, так как волновой пакет со временем расширяется и в конечном итоге электрон должен будет занять все доступное пространство. При всей эквивалентности матричной и волновой формулировок интерпретации их авторов были несовместимы.
Изначально Гейзенберг отнесся к волновой теории довольно неприязненно. Возможно, это было связано с соперничеством, желанием защитить свое творение. В июле 1926 года Зоммерфельд пригласил Шрёдингера в Мюнхен, чтобы тот рассказал о своих заключениях. Гейзенберг отменил поездку к родителям и специально приехал на эту встречу, чтобы выступить с критикой Шрёдингера, подчеркнув те моменты, которые, по его мнению, нельзя было разрешить с помощью волновой механики. Однако матричная механика также не давала необходимых ответов. Вильгельм Вин, присутствовавший в зале, пришел в ярость. Он сказал, что чувства Гейзенберга понятны: неприятно видеть, что несогласованная матричная квантовая механика оказалась устаревшей. Однако, добавил он, Гейзенбергу предстоит еще многое узнать, так что будет лучше, если он сядет на место и замолчит. Как видите, Вин не забыл о провале Гейзенберга во время защиты докторской.
Борн смотрел на ситуацию иначе. Он сразу понял, что формализм Шрёдингера намного лучше, чем матричная механика, подходил для описания частицы, направленной в мишень. Однако Борн также выступил с критикой физических моделей Шрёдингера, так как, по его мнению, ученый попытался вернуться к классической непрерывной теории. Борн предложил «сохранить только формальную сторону этой теории и наделить ее новым физическим смыслом». В июне 1926 года он опубликовал работу о столкновениях квантовых частиц, в которой впервые описал понятие квантовой вероятности. Борн считал, что при изучении столкновений следует отказаться от детерминистского подхода и говорить исключительно о вероятности, с которой частица будет отклоняться в заданном направлении.
Гейзенберг на конференции, 1924 год.
Памятник, установленный на немецком острове Гельголанд.
Макс Борн (слева) и Вольфганг Паули.
Чем больше я размышляю о физической составляющей теории Шрёдингера, тем ужаснее она мне кажется.
Эта вероятность задается волновой функцией Ψ(x), описывающей динамику частицы. Точнее говоря, вероятность того, что частица будет заключена в малом объеме ΔV вокруг точки с координатой х, определяется произведением Ψ(x)|²ΔV Таким образом, с течением времени электрон не занимает все доступное пространство (этот абсурдный вывод следовал из интерпретации Шрёдингера), а всего лишь увеличивается вероятность обнаружить его в любой точке пространства, и эта вероятность постепенно достигает единицы. Появление вероятностей ознаменовало поворотный момент в дискуссиях об интерпретации квантовой механики. Для физиков из Гёттингена и Копенгагена квантовая теория по своей сути была недетерминированной, а следовательно, вероятностная природа была одной из ее важнейших характеристик.
Описание атомных явлений было завершено с открытием спина электронов. Все началось с того, что в 1924 году Паули занялся изучением модели каркаса атома. Напомним, что в этой модели атом состоит из каркаса, включающего атомное ядро и электроны внутренних уровней, и электронов внешних уровней, связанных с ядром не столь сильно. В объяснении аномального эффекта Зеемана, предложенном Гейзенбергом, момент импульса, слабо связанный с магнитным полем внешних электронов, делился между этими двумя частями атома. Паули не нравилась идея о разделении момента импульса, и он предположил, что электрон описывается четырьмя квантовыми числами: три из них уже были описаны в модели Зоммерфельда, а новое, четвертое, могло принимать одно из двух значений. Паули сформулировал принцип, который сегодня носит его имя: атом не может содержать двух электронов с одинаковыми квантовыми числами. Так стала понятна трактовка периодической системы элементов, предложенная Бором, в которой каждому энергетическому уровню соответствовало определенное число электронов.