Задача 27. Какой цифрой оканчивается выражение 8977 · 3249 + + 387387: 819 — 851 · 243?
Первое произведение оканчивается на 3, частное — на 3, второе произведение — на 3. Окончательный результат оканчивается на 3.
Ответ: 3.
Задача 28. Составь магический квадрат 5 х 5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но не повторяется ни в каком столбце и ни в какой строке.
Для этого в каждой строке и в каждом столбце должны находиться все числа от 1 до 5.
Ответ: Например, так:
Задача 29. 4 человека стоят у лифта 5-этажного дома. Все они живут на разных этажах, от второго до пятого. Лифтер хочет доехать до одного какого-нибудь этажа, а там пусть идут пешком. Спуститься на один этаж — неудовольствие, подняться на один этаж — двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей?
Прежде чем решать эту задачу, надо хорошо понять ее необычные условия. Для этого полезно разобрать, что получится, если лифт остановится, например, на четвертом этаже. Тогда без неудовольствий окажется жилец 4 этажа. Жилец 5 этажа получит двойное неудовольствие, так как ему придется подняться на один этаж (с 4 на 5). Жилец 3 этажа получит одно неудовольствие, жилец 2 этажа — два неудовольствия. Впрочем, еще лучше, если жилец 2 этажа поднимется пешком с 1 этажа на 2: неудовольствий столько же, а лифт не так загружен. Итого, если лифт остановится на 4 этаже, получится 2 + 1 + 2 = 5 неудовольствий. Чтобы выяснить, какое решение самое экономное, составим таблицу.
Ответ: На четвертом этаже.
Задача 30. Найди сумму всех чисел от 1 до 100. Великий немецкий математик Карл Гаусс решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте.
Надо находить суммы пар чисел, одинаково удаленных от концов ряда. Они равны между собой: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Таких пар, а значит, таких сумм будет 100: 2 = 50. Значит, общая сумма равна 101 · 50 = 5050.
Ответ: 5050.
Задача 31. Коля считает, что если сумма первых трех цифр шестизначного номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет — счастливый. Билет с номером 198675 — счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые?
Сумма первых трех цифр равна 1 + 9 + 8 = 18, эти цифры долго не менялись и долго не будут меняться. Менялись и будут меняться последние цифры, но их сумма должна быть равна тоже 18. Первая из этих трех цифр 6 долго не менялась и не будет меняться. Значит, нужно, чтобы сумма двух последних цифр равнялась 12. Перед числом 75 такое ближайшее число 66, а после 75 — число 84.
Ответ: 198666 и 198684.
Задача 32. Сколько существует круглых четырехзначных чисел, все цифры которых — четные и никакие цифры не повторяются внутри одного числа?
Так как числа круглые, то они оканчиваются нулем, а так одна цифра не повторяется, то на первые три места можно ставить любые из оставшихся четырех четных цифр (не повторяя их). На место можно поставить любую из четырех четных цифр, от 2 до 8. На второе — любую из трех оставшихся цифр. Значит, первые два могут быть заняты двенадцатью способами: 24_0, 26_0, 28_0; 42_0 46_0, 48_0; 62_0, 64_0, 68_0; 82__0, 84_0, 86__0. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из двух оставшихся цифр. Например, в случае 24_0 третье место можно занять цифрами 6 или 8. Значит всего чисел получится 24. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй — любая из трех оставшихся цифр, третьей — любая из двух оставшихся цифр, четвертой — только одна цифра нуль; значит, всего таких чисел 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Ответ: 24 числа.
Задача 33. Масштаб карты равен 1: 400000. Сколько километров в 1 см этой карты?
В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:400000, значит, в 1 см карты содержится 400000 см, то есть 4 км.
Ответ: 4 км.
Задача 34. Какое число в задаче на вычисление пропущено:
51: _ — 12?
Здесь пропущено число, на которое делится число 51, то есть либо пропущено число 1, либо 3, либо 17, либо 51. Но если пропущено 17 или 51, то получатся выражения, не имеющие смысла: 51: 17 — 12 или 51: 51 — 12.
Ответ: 1 или 3.
Задача 35. Куплены русская, немецкая, французская и английская марки. Стоимость покупки без русской марки 40 рублей, без немецкой — 45 рублей, без французской — 44 рубля, а без английской — 27 рублей. Сколько стоит русская марка?
Обозначим цену русской марки буквой р, немецкой — буквой н, французской — буквой ф, английской — буквой а. Тогда
н + ф + а = 40,
р + ф + а = 45,
р + н + а = 44,
р + н + ф = 27.
Сложив все эти равенства, получим Зр + Зн + Зф + За =156, р + н + ф + а = 52, р = 12.
Ответ: 12 руб. Облегчить понимание этого решения можно, несколько переформулировав задачу.
Задача 35а. Коля, Петя, Вася и Леша покупали марки. На прилавке они увидели русскую, немецкую, французскую и английскую марки. Продавец сказал, что таких марок в магазине много. Коля купил немецкую, французскую и английскую марки, Петя — русскую, французскую и английскую марки, Вася — русскую, немецкую и английскую марки, Леша — русскую, немецкую и французскую. Узнай, сколько стоит русская марка, если известно, что Коля заплатил 40 руб., Петя 45 руб., Вася 44 руб., Леша 27 руб.
Сколько заплатили вместе все четверо?
40 + 45 + 44 + 27 = 156 (руб.).
По сколько марок каждой страны они купили? 4–1=3.
Сколько стоят вместе одна русская, одна немецкая, одна французская и одна английская марки? 156: 3 = 52 (руб.).
Сколько стоит одна русская марка? 52 — 40 = 12 (руб.).
Ответ: 12 руб.
Задача 36. Перерисуй по клеткам отрезок АВ:
Нужно от точки А пройти четыре клетки вправо, а затем столько же вверх.
Задача 37.Какой цифрой оканчивается выражение 4891 · 4892 · 4893 · 4894 · 4895?
Так как в произведение входят числа 4892 и 4895, то оно оканчивается нулем.
Ответ: 0.
Задача 38. Продолжи последовательность: 2, 3, 5, 8…
3 из 2 можно получить прибавлением единицы, 5 из 3 можно получить прибавлением двойки, 8 из 5 — прибавлением тройки. Можно и дальше прибавлять к числу на 1 больше, чем в предыдущем случае.