Задача 122. В 1 кг сплава олова и никеля содержится 50 % олова. Сколько никеля надо добавить в этот сплав, чтобы он составил 60 % сплава?
Сначала нужно определить, сколько сейчас в сплаве никеля и сколько олова. Так как 100 % — это 1 кг, то олова в сплаве 500 г и никеля — 500 г. Чтобы никель составил 60 % сплава, нужно сделать так, чтобы 500 г олова составляли 40 % сплава, то есть чтобы в сплаве было 1250 г.
Ответ: 250 г.
Задача 123. Сорок учеников выстроены в прямоугольник по 10 человек в каждой шеренге и по 4 в каждой колонне. В каждой шеренге выбран самый низенький ученик, а затем из 4 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждой колонне был выбран самый высокий ученик и среди 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или Петров?
Пусть в той же колонне, что Андреев и в той же шеренге, что Петров, стоит Сергеев. Тогда он выше Андреева и ниже Петрова, то есть Петров выше Андреева:
Ответ: Петров.
Задача 124. В 1 стакане 20 % молока, а остальное — вода, в другом таком же стакане 80 % молока, а остальное — вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?
Можно считать стакан равным, например, 0,2 л или совсем не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20 %, а 10 % всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 80 %, а 40 % всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10 % + 40 %.
Ответ: 50 %.
Задача 125. В клетках квадрата 3x3 были записаны натуральные числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали были одинаковыми. Некоторые числа стерли. Осталось число 24 в нижнем правом углу, 15 в центре и 9 правее 15. Восстановите стертые числа.
Обозначим через а число в правом верхнем углу:
Так как суммы цифр во всех столбцах, строках и диагоналях одинаковы, то каждая из них равна а + 33. Значит, в левом нижнем углу стоит число 18:
Поставим число б левее числа 15:
Так как сумма в левом столбце равна сумме во второй строке, то есть равна 24 + б, то в верхнем левом углу стоит число 6:
У нас заполнилась диагональ, по которой можно найти сумму чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой диагонали. Эта сумма равна 6 + 15 + 24 = 45. Теперь можно заполнить и все остальные клетки:
Ответ:
Задача 126. Выписаны подряд все числа от 1 до 60, без пробелов между цифрами: 123456789101112…585960. Надо вычеркнуть 100 цифр, чтобы оставшееся число оказалось наименьшим.
Всего выписано 111 цифр (9 — на однозначные числа и еще 102 на 51 двузначное число). Значит, после вычеркивания 100 цифр останется 11-значное число. Чтобы оно было самым маленьким, нужно поставить в нем на первое место 1, а на последующие — нули. Однако нулей в нашей записи всего 6. Если мы выпишем их все, то за последним нулем цифр уже не останется. Попробуем оставить нули только от чисел 10, 20, 30, 40 и 50. Тогда у нас получится такое число: 10000051525354555657585960. От него можно оставить после 100000 еще 5 цифр. Так как нуль поставить нельзя, поставим самую маленькую из возможных — 1, вычеркнув первую пятерку после пяти нулей: 1000001525354555657585960. Теперь можно вычеркнуть еще три пятерки, оставляя следующие за ними цифры: 10000012340.
Ответ: 10000012340.
Задача 127. Фразу «Страшнее кошки зверя нет» зашифруй кодом Виженера с помощью шифра «дева»
Ответ: Цшубэузё пфылн неёхе рёч.
Задача 128. Сколько разломов надо сделать, чтобы разломать эту шоколадку на отдельные квадратики?
Вначале можно попробовать конкретные пути. В каждом случае будет получаться одно и то же: 23 разлома. И наконец, надо объяснить, что каждый разлом добавляет новый кусок. После первого разлома будет два куска, после второго три и так далее. Так как из одного куска нужно получить 24, то разломов будет 23.
Ответ: 23.
Задача 129. Имелось 10 мешков с одинаковыми монетами. Злоумышленник заменил один мешок мешком с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая монета весит 10 г, а фальшивая 11 г. Как с помощью одного взвешивания на весах с гирями установить, в каком именно мешке монеты фальшивые?
Надо перенумеровать мешки. Затем надо взять из первого мешка одну монету, из второго — две, из третьего — три и так далее до десятого, из которого надо взять десять монет. Все эти монеты вместе надо взвесить. Если бы все монеты были настоящими, то все взятые монеты весили бы 10 + 20 + 30 +… + 90 + 100 = 550 г. Но они будут весить больше на столько граммов, сколько среди них фальшивых монет. А число фальшивых монет равно номеру мешка, из которого они взяты. (Например, если монеты весят 556 г, то фальшивых монет 6, и все они из одного мешка. Но 6 монет мы брали из шестого мешка.)
Задача 130. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется уравнять число орехов во всех этих кучках, причем можно перекладывать из одной кучки в другую столько орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать число орехов в кучке). Как это сделать?
В результате распределение орехов должно быть таким:
16, 16, 16.
Поэтому предпоследнее распределение должно быть таким:
16, 24, 8.
Перед этим распределение орехов может быть более разнообразным. Но нас должно заинтересовать такое, в котором есть хоть одна кучка с 22 или с 14 или с 12 орехами. Это может выглядеть так:
12, 20, 16 или 12, 8, 4.
Если теперь не трогать кучку в 12 орехов, то перед этим возможны такие распределения:
12, 10, 26, или 12, 28, 8, или 12, 4, 8, или 12, 2, 10.
Второе распределение можно получить из первоначального.
Ответ: Возможен следующий путь решения:
22, 14, 12 — 8, 28, 12 — 16, 20, 12 — 16, 8, 24 — 16, 16, 16.
131 - 140
Задача 131. В 1 стакане 20 % молока, а остальное — вода, в другом таком же стакане 30 % молока, а остальное — вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в нее выльют оба эти стакана?
Можно считать стакан равным, например, 0,2 л или совсем не оперировать определенным объемом (в зависимости от силы учащихся). Существенно здесь лишь то, что молоко из первого стакана будет составлять не 20 %, а 10 % всего объема, а молоко из второго стакана будет составлять не 30 %, а 15 % всего объема. Значит, всего молока в кастрюле окажется 10 % + 15 %.
Ответ: 25 %.
Задача 132. Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток и затем 100 км на север, снова оказаться в точке отправления?