Ответ: Во-первых, это Северный полюс. Но, кроме того, это бесконечное множество точек, лежащих невдалеке от Южного полюса и отвечающих следующему условию: если пройти из такой точки на юг, то окажешься на параллели, длина которой равна 100: n км, где n — любое натуральное число.
Задача 133. 3 м ткани стоят 200 руб. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?
Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 3. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:
3 м 200 руб.
4,5 м х руб.
Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:
1) Сколько стоят 9 м? 200 · 3 = 600 (руб.).
2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 2 = 300 (руб.).
Возможно и иное решение, так как 4,5 м = 3 м + 1,5 м, а 1,5 м стоят 200 : 2 = 100 (руб.).
Ответ: 300 руб.
Задача 134. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой таблице равна 15. Заполните пустые клетки таблицы:
Расставим буквы в пустые клетки таблицы:
Так как по условию 6 + a + b = a + b + с, то с = 6. Таким же образом равна 6 каждая из букв, стоящая через две клетки после с. Это f, h, k. Так же доказывается, что каждая буква стоящая через две клетки до и после 4, равна 4. Это е, b, j, m. Наконец, из условия 6 + а + b = 15 получаем, что а = 5. То же значение имеют все буквы, стоящие через две клетки после а.
Ответ:
Задача 135. Разгадай ребус:
Так как А · А оканчивается на E, не равное A, то A не может равняться 0, 1, 5 и 6. Так как при этом Е не равно 9, то А не может равняться 3 и 7. Значит, А может равняться только 2, 4, 8 или 9. Но А · В оканчивается на В, поэтому А не равно 2, не равно 4 и не равно 8. Значит, А = 9 и В = 5. После этого выясняется, что Е = 1, Ч = 2. Остается найти Д. Учитывая, что Д должно быть не больше 4, проверяем две оставшиеся возможности: Д = 3 и Д = 4.
Ответ: 459 · 459 = 210681.
Задача 136. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 100?
Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5. Двоек очень много — они присутствуют во всех четных числах. А пятерок меньше — они имеются только в числах, делящихся на 5. Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25…, 95, 100. Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 · 5, 50 = 2 · 5 · 5, 75 = 3 · 5 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24.
Ответ: 24 нуля.
Задача 137. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова, Маяковского и Пастернака, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Маяковский и Пастернак стояли рядом?
Соединим томики Маяковского и Пастернака в одну связку. Поставив на первое место томик Пушкина, на следующие три места мы можем поставить в любом порядке томик Лермонтова, томик Некрасова и связку. Это можно сделать шестью способами. А так как томики Маяковского и Пастернака можно соединить двумя способами, то способов расставить книги вдвое больше.
Ответ: 12.
Задача 138. Муравей сидит на передней грани куба и желает попасть на верхнюю грань. Как узнать, по какому кратчайшему пути должен он ползти?
Если бы события происходили в одной плоскости, ответ был бы прост: ползти по прямой. Поэтому нужно распрямить куб и определить возможный путь. В случае на нашем рисунке это путь АСВ:
Ответ: Распрямить куб.
Задача 139. В ящике 35 шариков. Каждый из двух играющих по очереди вынимает из ящика любое число шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний шарик. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или второй игрок?
Выигрывает тот, кто возьмет 35-й шарик, следовательно, тот, кто возьмет 29-й шарик, 23-й, 19-й, 13-й, 7-й, 2-й шарик.
Ответ: Выигрывает начинающий, если он возьмет 2 шарика и затем будет дополнять до 6 число шариков, взятых партнером.
Задача 140. 2001 год начался с понедельника. А с каких еще дней недели может начинаться век?
Нужно принять во внимание следующие факты.
1) В невисокосном году 365 дней, то есть 52 полные недели и еще 1 день, так что невисокосный год сдвигает календарь на один день недели.
2) В високосном году 366 дней, то есть 52 полные недели и еще 2 дня, так что високосный год сдвигает календарь на два дня недели.
3) Високосными в нашем григорианском календаре (календаре «по новому стилю») считается любой год, номер которого делится на 4, кроме тех лет, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400, то есть, например, годы 2000, 2004 и 2400 — високосные, а годы 2100 и 2200 — невисокосные).
4) В первом веке третьего тысячелетия, а также во втором и в третьем его веке будет по 24 високосных года, а в четвертом веке будет 25 високосных лет.
5) Первый век третьего тысячелетия сдвинет календарь на 124 дня недели, то есть на 5 дней. То же будет и во втором и в третьем веке. А четвертый век (2301–2400 гг) сдвинет календарь на 6 дней.
Значит, 2101 год начнется с субботы, 2201 — с четверга, 2301 — со вторника, 2401 — с понедельника, так же, как и 2001 год. И в дальнейшем каждые 400 лет все будет повторяться.
Ответ: Век может начинаться с понедельника, вторника, четверга и субботы.
141 - 150
Задача 141. 7,5 м ткани стоят 200 руб. Сколько стоят 4,5 м этой ткани?
Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит один метр, придется делить 200 на 7,5. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так:
7,5 м 200 руб.
4,5 м х руб.
Теперь пропорция рождается автоматически.
Если все же учитель не хочет составлять пропорцию, он может предложить такое решение:
1) Сколько стоят 22,5 м? 200 · 3 = 600 (руб.).
2) Сколько стоят 4,5 м? 600 : 5 = 120 (руб.).
Ответ: 120 руб.
Задача 142. В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета. Все носки одного размера и фасона. Сколько нужно вынуть носков, не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков?
Можно случайно вытянуть первый носок одного цвета, а второй — другого, так что два вытянутых носка могут не образовать пары. Но уже третий носок будет в пару с одним из двух первых.
Ответ: Не более трех.
Задача 143. Десяток яиц стоит 16 руб. 52 коп. Сколько стоят 15 таких яиц?
Задача не решается сведением к единице, так как, отвечая на вопрос, сколько стоит одно яйцо, придется делить 1652 коп. на 10. Так что лучше решать задачу составлением пропорции. Полезно для этого записать кратко задачу так: