В течение турнира таблица заполняется. Если, например, Гена выиграл у Бори, то это отмечается в таблице так:
А то, что Алеша с Борей сыграли вничью, отмечается в таблице так:
В предпоследнем столбце записывают, сколько очков набрал каждый. В последнем записывают, какое место занял каждый участник. Запишем условия задачи в нашу таблицу:
Теперь учтем, что Алеша набрал всего очков больше, чем Боря, а Боря больше, чем Витя. Это произошло потому, что они по-разному сыграли с Геной. Так как существует всего три возможности: выиграть партию, сыграть в ничью или проиграть, то, значит, Алеша выиграл у Гены, Боря сыграл с ним в ничью, а Витя проиграл. Занесем эти данные в таблицу и подсчитаем очки и места:
Ответ: Первое место занял Алеша, второе и третье поделили Боря и Гена, четвертое место занял Витя
Задача 155. Имеется много жетонов стоимостью 3 рубля и два жетона по 5 рублей. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 рублей?
Сумму в 8 рублей составляем как 3 + 5, в 9 — как 3 + 3 + 3, в 10 — как 5 + 5. Прибавляя к этим суммам нужное число трехрублевых жетонов, мы получим любую сумму, большую 10. Например, чтобы получить сумму 121, сообразим, что 121 при делении на 3 дает такой же остаток, как 10, а значит, 121 можно получить, прибавив к 5 + 5 нужное число 3-рублевых жетонов. Число этих жетонов определяем так: (121 — 10): 3 = 37.
Ответ: Да.
Задача 156. Разгадай ребус:
Так как ХА · У = ХА, то У = 1. Так как X — Д = X, то Д = 0. Имеем:
Так как А · А оканчивается на А, причем А не равно 1, то А = 5 или А = 6. Если А = 5, то
Э = 6:
Перебором всех возможных значений X в равенстве Х5 · 5 = 1X5 получаем, что X = 2. А после этого определяем, что М = 3. А = 6 легко опровергается проверкой.
Ответ: 3125 : 25 = 125.
Задача 157. Задача Л.Н. Толстого. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
Если задача не получается, ее надо рисовать:
Нарисуем два луга, один вдвое больше другого. Разделим большой луг на две части. Первая часть — это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть — работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.
Малый луг тоже разделим на две части. Первая часть малого луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов за то же время. Значит, первая часть малого луга равна 1/3 большого луга. Вторая часть малого луга равна 1/2 — 1/3 = 1/6 большого луга.
Вторую часть малого луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся бригада косила две трети большого луга полдня, то бригада состояла из 8 косцов.
Ответ: 8 косцов.
Задача 158. Поезд прошел мост длиной 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?
Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.
Ответ: 1200 м.
Задача 159. Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?
Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения — на 30 секунд, получим скорость.
Ответ: 25 м/сек.
Задача 160. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший 2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гордеев. Известно, что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий.
Запишем условия задачи в турнирную таблицу.
Попробуем определить, сколько очков могли набрать участники этого турнира. Каждая партия приносит одно очко играющим: либо это очко получает тот, кто выиграл (а проигравший получает 0), либо это очко делится поровну между участниками встречи, как это произошло в партии Андреева и Гордеева. Итак, всего участники турнира набрали столько очков, сколько произошло партий в этом турнире.
Каждый участник сыграл по три партии, а так как партии игрались в один круг, то всего партий было 6. Это можно понять из рассмотрения таблицы. В ней 12 свободных клеток (по 3 у каждого игрока), и после каждой партии заполняются 2 клетки. Значит, партий 6. Вывод: всего участники набрали 6 очков.
Как же могли распределиться эти очки между ними? Мы можем это понять из условий задачи — из таблицы. Андреев мог набрать не больше З2 очков, так как сыграл вничью с Гордеевым. Гордеев набрал не меньше очка, так как сыграл вничью с Андреевым. Но тогда очки у участников, занявших места между Андреевым и Гордеевым, могут быть от 1 до 3. Минимально это могут быть следующие результаты:
Гордеев — 1\2 очка, Власов — 1 очко, Борисов — 1. 1\2 очка, Андреев — 2 очка. Однако, в этом случае общее число очков равно 5, а должно быть 6. Поэтому нужно распределить между участниками недостающее очко.
Попробуем дать еще пол-очка Гордееву. Тогда у него будет 1 очко, у Власова — не меньше 1. 1\2, у Борисова — не меньше 2, у Андреева — не меньше 2. 1\2 очков. То есть общее число очков будет не меньше 7. Вывод: у Гордеева только 1\2 очка, что можно отметить в турнирной таблице:
Попробуем, оставив 1\2 очка у Гордеева, дать лишние пол-очка Власову. Тогда у него будет 1. 1\2 очка, у Борисова — не меньше 2, у Андреева — не меньше 2. 1\2 очков. То есть общее число очков будет не менее 6. 1\2 очков, что превышает сумму в 6 очков. Вывод: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко.