Имущественное положение у Гавриила Николаевича, хотя он и принадлежал к привилегированному сословию, было плохим и с каждым годом все ухудшалось. Обедневшая дворянская семья еле сводила концы с концами.
Но Гавриил Николаевич и Софья Алексеевна много внимания уделяли воспитанию и образованию детей. В доме Славяновых имелась большая библиотека. Дети много читали. Одна из комнат на втором этаже служила концертным залом. Здесь Николай учился играть на рояле. В комнате часто звучали голоса скрипки, виолончели, флейты.
В 1868 году, в возрасте сорока трех лет, Гавриил Николаевич умер. Его семья осталась в бедственном положении. Дети Гавриила Николаевича, как свидетельствуют документы, уже не владели недвижимым имуществом. Имение в Никольском было продано.
Софья Алексеевна после смерти мужа сняла в родном селе в аренду дом с десятиной земли и жила на небольшую пенсию. Все хозяйственные работы — уход за садом и огородом, содержание пчельника и другие — выполняла она сама и дети.
Первоначальное образование будущий изобретатель получил дома, а восьми лет был отдан в Воронежский кадетский корпус. Родители решили готовить сына к военной службе.
Выпускники Воронежского Михайловского кадетского корпуса, открытого в 1845 году, продолжали свое военное образование в столичных кадетских корпусах. А с 1857 года ему было дано право выпускать воспитанников прямо в офицеры. Это было довольно известное учебное заведение с сильным преподавательским составом. Среди воспитанников корпуса мы находим имена С. И. Мосина — конструктора русской трехлинейной винтовки, заслуженного профессора Артиллерийской академии М. К. Тахтарева, литератора А. С. Суворина. Воспитанником Воронежского кадетского корпуса был Г. В. Плеханов.
Николай Славянов учился в кадетском корпусе хорошо, но, по-видимому, что-то его там не удовлетворяло. Учась уже на предпоследнем курсе, он подал прошение уволить его из корпуса. Просьба была удовлетворена, и бывший кадет поступил в выпускной класс Воронежской мужской гимназии.
В 1872 году Николай Славянов с золотой медалью окончил Воронежскую гимназию и по рекомендации педагогического совета (что случалось очень редко) 21 августа того же года подал прошение директору Петербургского горного института: «Желая поступить в число студентов вверенного Вам института, имею честь покорнейше просить Ваше Превосходительство допустить меня до испытания, при сем представляю: 1) свидетельство о звании и возрасте, 2) свидетельство о дворянстве, 3) свидетельство от Воронежской гимназии и 4) вид на право жительства в С.-Петербурге». Славянов успешно выдержал конкурсные испытания и был зачислен студентом института.
Петербургский горный институт, старейшее высшее учебное заведение России, был открыт в 1773 году. Первое время он назывался Горным училищем, после — Горным кадетским корпусом, Горным институтом. В 1848 году он получил наименование Института корпуса горных инженеров и стал закрытым учебным заведением. Долгое время ему был положен статут военной организации. Лишь в 1866 году институт получил права открытого учебного заведения с пятилетним сроком обучения.
В 1867 году в институте обучалось только 83 человека. Но уже в 1872 году здесь было 322 студента. Ежегодный прием новых студентов был установлен в пятьдесят человек. Вместо экзаменов ввели конкурсные испытания. Прием лиц польского и еврейского происхождения был строго ограничен.
Первый год пребывания Славянова в Горном институте совпал со столетним юбилеем этого учебного заведения. Знаменательная дата отмечалась 21 октября 1873 года. На юбилейное заседание прибыли представители более чем от семидесяти крупных русских и иностранных научных учреждений. От Петербургского университета выступил великий русский химик Д. И. Менделеев, который отметил: «Юбилейное торжество Горного института есть торжество науки, ибо она светит в подземных глубинах… Так пусть же ее могущественное светило освещает и впредь, на благо России, это учреждение светом своим полным и чистым».