Треугольник как треугольник. Но при чем здесь все-таки гармония? Так я этого и не выяснил, потому что капитан подвел меня к следующему столу, где другой юный древний грек делил натуральные числа. Выяснилось, что и он занимается гармонией: ищет гармонию числовых отношений. По словам этого «гармониста», в числах тоже, видите ли, есть своя гармония, основанная на отношениях все тех же четырех чисел: 1, 2, 3 и 4. И обнаружил эти гармонические отношения все тот же Пифагор.
Пифагор, Пифагор… У меня от него уже в ушах стреляет: пиф-паф, пиф-паф! И я очень обрадовался, когда капитан потащил меня к третьему столу. Длинному-предлинному. Здесь работал уже не мальчик, а самый что ни на есть древний грек с пышной курчавой бородой.
— Гиппáс, ученик Пифагора, — представился он.
Опять Пифагор! Я только вздохнул.
Побеседовав со стариком, мы узнали, что он возглавляет сейчас пифагорейскую школу и тоже изучает гармонию, на сей раз — звуков.
На столе у него лежала длинная линейка. На линейку была натянута струна. Бородач ущипнул ее, и она издала низкий гудящий звук. Потом он прижал струну пальцем посередине и предложил мне ущипнуть одну из половинок. Я не заставил себя упрашивать. Звук получился потоньше.
— Выше на целую октаву, — сказал капитан Единица.
— Как вы говорите? — переспросил Гиппас. — На октаву? Мы, греки, называем это иначе, но не в том суть.
Он разделил половинку струны снова пополам и предложил мне ущипнуть одну из четвертушек. Струна зазвучала еще выше, и опять на целую октаву. Потом мы заставляли звучать одну восьмую, одну шестнадцатую струны и каждый раз получали звук октавой выше предыдущего.
Было очень интересно, и я щипал вовсю, даже палец заболел. Пришлось спросить: долго это будет продолжаться? Но старик сказал — совсем недолго, если, конечно, щипать по одному разу, а не по двадцать, ибо Пифагор (слава Зевсу!) разделил струну всего на семь октав.
Тут я не выдержал и спросил:
— Уважаемый Гиппас, скажите, наконец, кто вы? Музыкант или математик?
— И то и другое вместе, — ответил он, пожав плечами. — Все мы здесь музыканты-математики. Ведь музыка построена на соотношении чисел. Я уже добрых полчаса об этом толкую. Октава, например, получается при делении струны пополам. Стало быть, это отношение двух к одному — 2 : 1…
— Допустим, — сказал я, — но что общего между музыкой и отношением чисел в ореховом треугольнике?
— Очень много, и сейчас ты в этом убедишься.
Гиппас прижал струну пальцем на расстоянии одной трети от края.
— Видишь, — пояснил он, — струна разделена на две неодинаковые части. Одна из них равна двум третям, другая — одной трети. Значит, длина всей струны относится к большей ее части как три к двум — 3: 2. Тронем большую часть струны — она зазвучит выше, чем вся струна…
— И теперь уже не на октаву, а всего лишь на квинту, — вставил капитан.
— Да, да, — закивал Гиппас, — по-вашему это называется квинтой. Снова отложим на меньшем отрезке струны две трети — получим…
— Опять квинту! — подхватил я.
— Ты определенно делаешь успехи! — просиял Гиппас. — Еще раз разделим таким же способом меньшую часть струны и так далее… Пока не дойдем до конца. И окажется, что на струне, состоящей из семи октав, укладывается двенадцать квинт.
— Подумать только! Точно двенадцать! — восхитился я.
— Гм… — Гиппас помедлил. — В том-то и беда, что не совсем точно. Двенадцать квинт чуть-чуть длиннее семи октав. Правда, разность между ними совсем ничтожна. Это легко подсчитать. Сложим семь октав — семь отрезков струны:
А теперь сложим двенадцать отрезков, образующих квинты:
— Остается вычесть из большей суммы меньшую, — сказал я. — 0,99999 — 0,99218 = 0,00781. Да, разность и в самом деле пустяшная.
Гиппас посмотрел куда-то вбок и вздохнул.
— Так-то оно так, и все же… Иногда пустяки портят всю музыку, — невесело пошутил он.
Я хотел спросить, что его так огорчает, да побоялся показаться невежей и поскорее перевел разговор на другую тему.
— Помнится, в ореховом треугольнике есть еще число 4. О нем вы пока ничего не сказали.
— В самом деле, — встрепенулся старик. — Между тем, отношение четырех к трем — 4 : 3 — тоже великолепное. Оно дает… Как это по-вашему? — обернулся он к капитану.
— Кварту, — подсказал тот.