АБСТРАКЦИЯ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ- способ формирования общих абстрактных понятий, состоящий в том, что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемых исходных объектов принимаются во внимание лишь те их различия, которые по тем или иным причинам оказываются для нас существенными, и игнорируются другие — несущественные. Объекты, различающиеся лишь несущественным образом, начинают считать одинаковыми. В речевом аспекте абстракция отождествления проявляется в том, что о двух одинаковых реальных объектах, отождествляя их, мы начинаем говорить как об одном и том же абстрактном объекте, закрепив за ним соответствующий термин. Так, напр., отождествляя одинаковые реальные буквы (слова, алфавиты), мы приходим к понятию абстрактной буквы (абстрактного слова, абстрактного алфавита). В связи с этим в гносеологическом плане абстракция отождествления оказывается важнейшим объектообразу- юшим фактором. Особенно интересен случай, когда, применяя абстракцию отождествления к реальным объектам, отвлекаются от временной их изменчивости, создавая тем самым устойчивые, как бы «вечные», «неразрушимые» абстрактные объекты. Такого рода применения абстракций отождествления особенно типичны для математики, объекты рассмотрения которой в известном смысле «вечны» и «неразрушимы», в отличие от объектов реальных: конкретный реальный объект (напр., стол) можно разрушить, в то время как натуральное число разрушить нельзя. С лингвистической стороны это находит выражение в том, что в «сверхточных» математических языках (напр., в формализованных языках с их точным синтаксисом и семантикой) временной аспект отсутствует вообще, а в привычных для математика фрагментах «обиходного» языка глаголы, применяемые, напр., в прикладной деятельности либо в преподавании, как правило, употребляются в настоящем времени: о числе «нуль» невозможно сказать, что оно «существовало» или же «будет существовать»; приемлемым образом звучит лишь утверждение, что оно «существует». Но это существование на самом деле «длящееся»: число это существует «сегодня и всегда». Обсуждение данного феномена тесно связано с рядом важнейших общих философских проблем, напр. с проблемой понимания самого феноменавремени(азначит,игфиродыпричинно-следствен- ных связей). Н.М. Нагорный
АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ОСУЩЕСТВИМОСТИ— метод мысленного отвлечения, лежащий в основе идеи т. н. потенциальной бесконечности. Представление о неограниченном развитии какого-либо конструктивного процесса, являющееся конкретным воплощением этой идеи, требует совершения всевозрастающего количества конструктивных актов, и попытки реального их осуществления, даже в том случае, когда начальные шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздно сталкиваются с препятствиями чисто материального характера: для совершения очередного акта недостает времени, места или материала. Абстракция потенциальной осуществимости представляет собой решение отвлекаться от всей совокупности осложнений указанного рода, считать их несущественными. Тем самым шаги, осуществимость которых носит лишь воображаемый характер, начинают мыслиться совместно и равноправно с реально вы-
20
АБСУРД полнимыми. Так, мысленно рассматривая конструктивный процесс построения натурального ряда 0, 1,2, ... (процесс принципиально незавершаемый), мы принимаем решение, что совместно и равноправно со всяким натуральным числом и мы будем рассматривать и следующее за ним число п + 1. Мысленно осуществляя вывод в рамках какой-либо дедуктивной теории, мы принимаем решение считать, что вслед за любым шагом этого вывода может быть совершен еще один. То же самое абстракция потенциальной осуществимости разрешает делать и в применении к любому конструктивному процессу: вообразив выполненным определенный этап этого процесса, мы соглашаемся мыслить процесс продвинутым (согласно правилам его развертывания) еще на один шаг. В логическом аспекте принятие абстракции потенциальной осуществимости ведет к обоснованию метода полной (совершенной) индукции. Наряду с абстракцией отождествления абстракция потенциальной осуществимости является необходимой предпосылкой построения абстрактной теории конструктивных процессов и конструктивных объектов. Это определяет ее исключительную роль в методологии математики, в особенности в конструктивном на-правлении, в котором в качестве объектов рассмотрения допускаются лишь конструктивные объекты, а высказывания об их существовании понимаются как высказывания об их потенциальной осуществимости. Абстракция потенциальной осуществимости применяется и в рамках теоретико-множественной программы Г. Кантора, но в этом случае наряду с этой абстракцией употребляется гораздо более далеко идущая абстракция актуальной бесконечности. Кроме математики абстракция потенциальной осуществимости играет важную роль при анализе многих ситуаций, возникающих в логике и в других дедуктивных науках. Некоторые ее ослабления, учитывающие ограничения на длину процессов, сложность шагов и промежуточных данных и т. п., применяются в ряде смежных разделов теории алгоритмов и теоретической кибернетики. Термин «абстракция потенциальной осуществимости» был впервые введен в употребление A.A. Марковым в ходе анализа математических абстракций, предпринятого им в связи с разработкой основ конструктивного направления в математике. Отмечая, что абстракция потенциальной осуществимости, как и абстракция актуальной бесконечности, включает в себя известный элемент воображения, он тем не менее указывал на то, что в отношении отхода от действительности абстракции эти находятся на двух качественно различных уровнях. Лит.: Марков A.A. Теория алгорифмов. - Тр. математического института им. В. А. Стеклова, т. 42. М—Л., 1954; Он же. О конструктивной математике. — Там же, т. 67. М.-Л., 1962; Он же. О логике конструктивной математики. М, 1972; Марков А. А., Нагорный H. M. Теория алгорифмов. М., 1984 (2-е изд. М., 1996); Щанин Я. А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства. — Тр. математического института им. В. А. Стеклова, т. 67. М.-Л., 1962. Н. М. Нагорный
АБСУРД(от лат. absurdus — нелепый) — граница, изнанка, оборотная сторона смысла, его превращенная форма. Попытка дать категориальное определение абсурда невыполнима и сама по себе абсурдна, поскольку абсурд не улавливается в сети ни здравого смысла, ни понятий рассудка, ни идей разума. Абсурд парадоксален. Рассудок в своем дискурсивном движении наталкивается на контрсмыслы, которые поначалу воспринимаются как абсурд, как нечто немыслимое, а затем, включаясь в логику рассуждения, расширяют границы знания и становятся «здравым смыслом». Разум как рефлексия оснований дискурса представлен в антиномиях и парадоксах, формируя как абсурд то, что или составляет альтернативу принятого смысла (контрсмысл), или находится по ту сторону смысла (бессмысленность). История человеческой мысли может быть рассмотрена как развертывание различных пониманий смысла и соответственно разных трактовок абсурда. Происходит как бы новое переопределение не только смысла, но и абсурда, новая демаркация границ между смыслом и абсурдом: от трактовки абсурда как беспредметного слова и высказывания, не имеющего референта, к пониманию абсурда как нарушения законов логики и, наконец, к интерпретации абсурда как того, что невозможно помыслить, что лежит за границами понимания и объективно-идеального мира смыслов, выявленного в человеческих дискурсах и в принципе возможного. Расширение поля смыслов ведет к переосмыслению абсурда, к очерчиванию его новых границ. Вместе с тем абсурд входит в саму структуру логических процедур доказательства, поскольку косвенное доказательство (см. Доказательство косвенное), или доказательство от противного, не может быть осуществлено без обращения к абсурду. Однако в логике и гносеологии проблема абсурдности выражений и абсурда как возможных пределов смысла, как столкновения смысла и бессмыслицы разработана слабо. Для античной философии материальный феноменальный мир текуч, изменчив, как изменчивы мнения о нем, однако он умопостигаем, коль скоро в нем можно выявить инвариантные структуры (эйдосы, числа, формы, атомы). Логика осмысленного рассуждения — логика, подчиняющаяся законам тождества и непротиворечия. Абсурд связан с «беспредметными именами», т.е. словами, не соотносящимися с реальным предметом, с нарушением законов логики, с логическими ошибками, с неоправданным смешением категорий или с их подменой, даже с логически правильным рассуждением, если оно строится на неверных или ограниченных посылках. Так, пифагорейцы, столкнувшись с проблемой несоизмеримости и тем самым с иррациональными числами при соблюдении логически правильного геометрического доказательства, объявили саму проблему сакральной тайной. Область существования, оказавшись иррациональной, опрокинула образцы умо- постигаемости, которые они усматривали в числе и числовых соотношениях. Позднее те ограничения, которые принимались в античной математике в качестве ее оснований, были сняты, понимание числа было расширено и в него были включены иррациональные числа. То, что считалось нелепостью, иррациональностью, нарушением канонов логики, оказалось тем, что имеет вполне рациональный смысл, хотя сохранилось обозначение этих чисел как иррациональных. Проблема абсурда возникла прежде всего при разграничении истинных и ложных рассуждений, которое было столь важно для практики риторического и судебного дискурсов. Для античной философии абсурд —это симптом и предвестник ложности рассуждения: истинность — воплощение смысла, а ложность — бессмыслицы. Античная