18
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ начальное дело абстракции, которая в ее подлинно научном проявлении идет значительно дальше того, что можно извлечь из данных опыта. Тезис, что познание через абстракцию искажает (огрубляет) реальность, наталкивается на возражение, что подлинные интересы познания устремлены, как правило, «по ту сторону» наличного опыта к инвариантному «существу дела», представленному в абстракции. Сам по себе чистый акт отвлечения только предваряет поиск таких инвариантов, маскируя дальнейший нетривиальный процесс мысленного анализа отношений между абстракцией и реальО ностью. По-видимому, нет области знания, где абстракция не служила бы рациональной основой познания, хотя в различных областях применяемые абстракции и особенности их использования, конечно, различны. Самой развитой системой абстракций обладает математика, которая по существу является наукой об абстракциях. Естествознание в той мере, в какой оно пользуется математикой, заимствует из ее абстракций, добавляя к заимствованным и свои. Но вместе с тем существуют и общенаучные абстракции, необходимые как на первых шагах образования понятий, так и на всех уровнях формирования знаний о природной и общественной жизни. Вот почему абстракции — это не «строительные леса», которые после постройки какой- либо отрасли знания можно и даже нужно отбросить. Это не только форма, но и сама суть науки. Лит.: Мировоззренческие и методологические проблемы научной абстракции. М., 1960; Горский Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961; Розов М. А. Научная абстракция и ее виды. Новосибирск, 1965; Петров Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. М., 1967; Яновская С. А. Методологические проблемы науки. М., 1972; Лазарев Ф. В. О природе научных абстракций. М., 1971; Он же. Абстракция и реальность.— «Вестник МГУ», 1974; № 5; Виленкин Н. Я., трейдер Ю. А. Понятие математики и объектов науки.— «ВД», 1974, № 2; Ильенков Э. В. Диалектическая логика. Очерк истории и теории. М., 1984; Новосёлов M. М. Об абстракциях неразличимости, индивидуации и постоянства. — В кн.: Творческая природа научного познания, М., 1984; Он же. Абстракция и научный метод. — В кн.: Актуальные вопросы логики научного познания. М., 1987; Schneider H. J. Historische und systematische Unteisuchungenz ur Abstraction. Erlangen, 1970; VuilleminJ. La logique et le monde sensiable. Etude sur les theories contemporaines de l'abstraction. P., 1971; Logic and abstraction. Goteborg, 1986; Pollard St. What is abstraction? - «Nous», 1987, vol. 21, N 2; RoeperR Principles of abstraction for events and processes. - «J. of philos. Logic», 1987, vol. 16, N3. M. M. Новосёлов
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ- основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности — идеи актуальной бесконечности. В простейшем случае — при рассмотрении какого- либо необрывающегося конструктивного процесса, порождающего объекты определенного типа, — абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы «продолженным до конца» и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат —множество (совокупность) всех порожденных им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинают трактовать в качестве актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения натуральных чисел 0, 1,2, .., в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту — натуральному ряду, который в дальнейшем выступает в качестве наличного объекта, равноправного с составляющими его числами. В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются «процессы» существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия множества как отдельного абстрактного понятия. В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты «чистого» мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это создает определенные методологические трудности, в частности трудности истолкования суждений о возникающих в результате такого абстрагирования объектах. Эти трудности, связанные с косвенным характером «осязаемости» полученных с применением абстракции актуальной бесконечности объектов, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда абстракция актуальной бесконечности применяется многократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте принятие абстракции актуальной бесконечности ведет к обоснованию классической аристотелевской логики, и в частности исключенного третьего закона. Особую роль абстракция актуальной бесконечности играет в канторовской «архитектурной программе для математики», предусматривающей построение математики в виде надстройки над созданной им множеств теорией (точнее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении о множествах). Согласно этой программе, получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект рассматривается как множество, удовлетворяющее определенному условию, и это обстоятельство делает абстракцию актуальной бесконечности основным в рамках данного подхода объектообразую- щим фактором. Однако в связи с упоминавшимися выше труд-ностями неограниченное ее применение в качестве право-мерного средства образования математических понятий неоднократно вызывало возражения со стороны ряда вьшающихся математиков (К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Д. Гильберт, Г, Вейлъ и др.). Альтернативные по отношению к канторовской программы построения математики на базе использования одной лишь абстракции потенциальной осуществимости были предложены Л. Э. Я. Брауэром (см. Интуиционизм) и А. А. Марковым (см. Конструктивное направление). Без использования абстракции актуальной бесконечности обходится также и доказательств теория Д. Гильберта. Лит.: Бесконечность в математике (А. Н. Колмогоров). - БСЭ, т. 3. М., 1970; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Марков А. А. О конструктивной математике. - Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 67. М.~Л., 1962; Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. — В кн.: Он же. Труды по теории множеств. М., 1985. Н. М. Нагорный
19
АБСТРАКЦИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ
АБСТРАКЦИЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТИ- абстракция, принятая в рамках интервального анализа, с целью уточнения понятий о тождестве и различии в ситуациях, когда отсутствует априорная информация об индивидуацш объектов универсума (предметной области), а процессы их отождествления или различения определяются конечной информацией об их наблюдаемых состояниях. Обычно это означает зависимость суждений о тождестве и различии от информационных условий познания — разрешающей способности актов восприятия, свойственных наблюдателю или какой-либо иной информационной системе. При этом тождество по неразличимости, принимая во внимание неизбежную «энтропию опыта», естественно, не является инвариантной величиной. К примеру, человеческий глаз воспринимает и различает только конечное число градаций яркости, не замечая тех объективно различных градаций, которые заключены в пространстве меньшем, чем пространственный порог разрешения для глаза. Ситуация такого рода является основной гносеологической ситуацией в любых познавательных актах, в которых исследуемый объект представлен не «сам по себе», а некоторым конечным вектором его измеримых признаков. В этом смысле (с учетом квантовых эффектов) абстракция неразличимости служит обобщением классической философской (логической) идеи о тождестве неразличимых (принципа тождества неразличимых) на эмпирические условия познания, чем и оправдывается введение специального термина «абстракция неразличимости» (М.М. Новосёлов, 1970). Во многих важных случаях отношения неразличимости можно определять через функции расстояний, что согласуется с практикой приближенных методов вычислений, когда неразличимость задается интервалом неопределенности, который — в качестве условия на отождествление — выражает меру неразличимости объектов: «внутри» интервала неопределенности допустимо абстрагироваться от возможного различия объектов, рассматривая просто пары неразличимых, наделенные точностью. Опираясь на принцип замены равного равным в интервале неопределенности, этот интервал можно рассматривать как адекватное выражение идеи тождества ?-неразличимых, связывая с этим понятием и понятие о соответствующей абстракции 6-неразличимости. Дальнейший анализ этой абстракции позволяет, с одной стороны, ввести методологически важное понятие о гносеологической точности научных теорий, основанных на данных опыта, с другой — представить совокупность отношений эмпирических неразличимостий (&-неразличи- мостей) как модель псевдобулевой алгебры, или, иначе, в виде импликативной (скулемовской) структуры с относительным псевдодополнением, или, что то же, как одну из «космоса» промежуточных (между классической и интуиционистской) логик с минимальным отрицанием. Лит.: Новосёлов M. M. Об абстракциях неразличимости, индивиду- ации и постоянства. — В кн.: Творческая природа научного познания. М., 1984; Он же. О гносеологической точности. - В кн.: Философские вопросы технического знания. М., 1984; Он же. О логике эмпирических неразличимостей. - В кн.: Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М, 1989; Novosyolov M. On epistemological preciseness: interval approach. - Science as a subject of study. M., 1987. M. M. Новосёлов